Hvad er den enkleste radikale form for sqrt115?

Svar:

Der er ingen enklere form

Forklaring:

Med radikaler forsøger du at faktorisere argumentet, og se om der er firkanter, der kan 'tages ud fra under roden'.

Eksempel: # Sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) xxsqrt5 = 5sqrt5 #

I dette tilfælde ikke noget held:

# Sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

Svar:

#sqrt (115) # er allerede i enkleste form.

Forklaring:

Den primære faktorisering af #115# er:

#115 = 5*23#

Da der ikke er nogen firkantede faktorer, er det ikke muligt at forenkle kvadratroden. Det er muligt at udtrykke det som et produkt, men det regnes ikke som enklere:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#COLOR (hvid) () #

Bonus

Til fælles med enhver irrationel kvadratrode af et rationelt tal, #sqrt (115) # har en gentagen fortsat fraktion ekspansion:

#sqrt (115) = 10; bar (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

Du kan afkorte den fortsatte fraktion ekspansion tidligt for at give rationelle tilnærmelser til #sqrt (115) #.

For eksempel:

#sqrt (115) ~~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,2,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

Faktisk ved at afkorte lige før slutningen af det gentagne afsnit af den fortsatte fraktion har vi fundet den enkleste rationelle tilnærmelse for #sqrt (115) # der opfylder Pells ligning.

Det er:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

kun afvige med #1#.

Dette gør # 1126/105 ~~ 10.7bar (238095) # en effektiv tilnærmelse til #sqrt (115) ~~ 10.7238052947636 #