Bevis at barneseng (A / 2) - 3cot ((3A) / 2) = (4sinA) / (1 + 2cosA)?

Svar:

Se venligst på Forklaring.

Forklaring:

Vi ved det, # Tan3theta = (3tantheta-tan ^ 3theta) / (1-3tan ^ 2theta) #.

#:. cot3theta = 1 / (tan3theta) = (1-3tan ^ 2theta) / (3tantheta-tan ^ 3theta) #

#:. barneseng ((3A) / 2) = {1-3tan ^ 2 (A / 2)} / {3tan (A / 2) Tan ^ 3 (A / 2)} #.

lade #tan (A / 2) = t, # vi har,

#cot (A / 2) -3cot ((3A) / 2) #, # = 1 / t-3 {(1-3t ^ 2) / (3t-t ^ 3)} #, # 1 / t- {3 (1-3t ^ 2)} / {t (3-t ^ 2)} #, # = {(3-t ^ 2) -3 (1-3t ^ 2)} / {t (3-t ^ 2)} #, # = (8t ^ annullere (2)) / {annullere (t) (3-t ^ 2)} #, # = (8t) / {(1 + t ^ 2) +2 (1-t ^ 2)} #

# = {4 * (2t) / (1 + t ^ 2)} / {(1 + t ^ 2) / (1 + t ^ 2) + 2 * (1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2)} #.

Noter det, # (2t) / (1 + t ^ 2) = {2tan (A / 2)} / (1 + tan ^ 2 (A / 2)) = sinA og #

# (1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2) = cosa #.

#rArrcot (A / 2) -3cot ((3A) / 2) = (4sinA) / (1 + 2cosA), "som ønsket!" #

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

# LHS = barneseng (x / 2) -3cot ((3x) / 2) #

# = Cos (x / 2) / sin (x / 2) -3 * cos ((3x) / 2) / sin ((3x) / 2) #

# = (Sin ((3x) / 2) * cos (x / 2) -3 * cos ((3x) / 2) * sin (x / 2)) / (sin (x / 2) * sin ((3x) / 2) #

# = (2sin ((3x) / 2) * cos (x / 2) -3 * 2cos ((3x) / 2) * sin (x / 2)) / (2sin (x / 2) * sin ((3x) / 2) #

# = (Sin ((3x) / 2 + x / 2) + sin ((3x) / 2-x / 2) -3 * {sin ((3x) / 2 + x / 2) -sin ((3x) / 2-x / 2)}) / (cos ((3x) / 2-x / 2) -cos ((3x) / 2 + x / 2) #

# = (Sin ((4x) / 2) + sin ((2x) / 2) -3 * {sin ((4x) / 2) -sin ((2x) / 2)}) / (cos ((2x) / 2) -cos ((4x) / 2) #

# = (Sin2x + sinx-3sin2x + 3sinx) / (cosx-cos2x) #

# = (4sinx-2sin2x) / (cosx- (cos ^ 2x-sin ^ 2x)) #

# = (4sinx-4sinx * cosx) / (cosx-cos ^ 2x + sin ^ 2x) #

# = (4sinx (1-cosx)) / (cosx (1-cosx) + (1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (4sinx (1-cosx)) / ((1-cosx) (cosx + 1 + cosx) #

# = (4sinx) / (1 + 2cosx) = RHS #

# LHS = barneseng (A / 2) -3cot ((3A) / 2) #

# = Cos (A / 2) / sin (A / 2) -cos ((3A) / 2) / sin ((3A) / 2) -2cot ((3A) / 2) #

# = (Sin ((3A) / 2) * cos (A / 2) -cos ((3A) / 2) * sin (A / 2)) / (sin (A / 2) * sin ((3A) / 2)) - 2cot ((3A) / 2) #

# = synd (A) / (sin (A / 2) * sin ((3A) / 2)) -2cot ((3A) / 2) #

# = (2sin (A / 2) cos (A / 2)) / (sin (A / 2) * sin ((3A) / 2)) -2cot ((3A) / 2)

# = 2cos (A / 2) / sin ((3A) / 2) -2 * cos ((3A) / 2) / sin ((3A) / 2)

# = 2 (cos (A / 2) -kos ((3A) / 2)) / sin ((3A) / 2) #

# = 2 (2sin (A / 2) sin (A)) / (3sin (A / 2) -4sin ^ 3 (A / 2))

# = (4sin (A / 2) sin (A)) / (sin (A / 2) (3-4sin ^ 2 (A / 2)) #

# = (4sin (A)) / (3-2 (1-cosA)) #

# = (4sin (A)) / (1 + 2cosA) = RHS #

Bevis at (1 + secx) / tanx = barneseng (x / 2)?

LHS = (1 + secx) / tanx = (1 + 1 / cosx) / tanx = ((1 + cosx) / afbryd (cosx)) / (sinx / afbryd (cosx)) = (1 + cosx) / sinx = (2cos ^ 2 (x / 2)) / (2sin (x / 2) * cos (x / 2)) = barneseng (x / 2) = RHS

Hvis et projektil projiceres i vinkel theta af vandret, og det bare passerer ved at røre spidsen af to vægge af højde a, adskilt med en afstand 2a, så viser det, at dets bevægelsesområde vil være 2a barneseng (theta / 2)?

Her er situationen vist nedenfor, så efter lidt tid i sin bevægelse vil den nå højde a, så i betragtning af lodret bevægelse kan vi sige, at a = (u sin theta) t -1/2 gt ^ 2 (u er projektilens projektionshastighed) Løsning af dette får vi, t = (2u sintheta _- ^ + sqrt (4u ^ 2 sin ^ 2 theta -8ga)) / (2g) Så en værdi (mindre en) af t = t Lad) foreslår, at tiden for et stykke tid går op og den anden (større) t = t '(lad), mens den kommer ned. Så vi kan sige i dette tidsinterval projektilw vandret rejst afstand 2a, Så vi kan skrive, 2a = u cos theta

Hvordan løser du 1 = barneseng ^ 2 x + csc x?

X = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi for k i ZZ cot ^ 2x + cscx = 1 Brug identiteten: cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 => cot ^ 2x + 1 = csc ^ 2x => cot ^ 2x = csc ^ 2x-1 Erstat dette i den oprindelige ligning, csc ^ 2x-1 + cscx = 1 => csc ^ 2x + cscx-2 = 0 Dette er en kvadratisk ligning i variablen cscx Så Du kan anvend den kvadratiske formel, csx = (- 1 + -sqrt (1 + 8)) / 2 => cscx = (- 1 + -3) / 2 Etui (1): cscx = (- 1 + 3) / 2 = 1 Rememeber at: cscx = 1 / sinx => 1 / sin (x) = 1 => synd (x) = 1 => x = pi / 2 Generel løsning (1): x = (- 1) ^ n / 2) + npi Vi må afvise (forsømme) disse værdie