Hvad er bue længden af r (t) = (t, t, t) på tin [1,2]?

Svar:

#sqrt (3) #

Forklaring:

Vi søger bue længden af vektorfunktionen:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # til #t i 1,2 #

Som vi let kan evaluere ved hjælp af:

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt #

Så vi beregner derivatet, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Således får vi bue længden:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

Dette trivielle resultat bør ikke komme som nogen overraskelse, da den givne oprindelige ligning er den af en lige linje.