Hvad er bue længden af r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) på tin [1, ln2]?

Svar:

Arc længde #~~ 2.42533 # (5dp)

Bue længden er negativ på grund af den nedre grænse #1# være større end den øvre grænse af # LN2 #

Forklaring:

Vi har en parametrisk vektorfunktion, givet af:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

For at beregne bue-længden vil vi kræve vektorderivatet, som vi kan beregne ved hjælp af produktreglen:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) +) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# ^ = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Så beregner vi størrelsen af den afledte vektor:

# | bb ul r '(t) | = sqrt (2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Så kan vi beregne bue-længden ved hjælp af:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

(2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

Det er usandsynligt, at vi kan beregne dette integral ved hjælp af analytisk teknik, så i stedet ved hjælp af numeriske metoder opnår vi en tilnærmelse:

# L ~~ -2.42533 # (5dp)

Bue længden er negativ på grund af den nedre grænse #1# være større end den øvre grænse af # LN2 #