To tal adskiller sig med 3. Summen af deres reciprocals er syv tiendedele. Hvordan finder du tallene?

Svar:

Der er to løsninger på et problem:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Forklaring:

Dette er et typisk problem, der kan løses ved hjælp af et system med to ligninger med to ukendte variabler.

Lad den første ukendte variabel være #x# og den anden # Y #.

Forskellen mellem dem er #3#, hvilket resulterer i ligningen:

(1) # x-y = 3 #

Deres reciprocals er # 1 / x # og # 1 / y #, hvor summen er #7/10#, hvilket resulterer i ligningen:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

For øvrigt kræver eksistensen af reciprocals begrænsningerne:

# gange! = 0 # og #Y! = 0 #.

For at løse dette system, lad os bruge substitutionsmetoden.

Fra den første ligning kan vi udtrykke #x# med hensyn til # Y # og erstatte den anden ligning.

Fra ligning (1) kan vi udlede:

(3) #x = y + 3 #

Erstatter det i ligning (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

I øvrigt nødvendiggør dette en anden begrænsning:

# Y + 3! = 0 #, det er #Y = -! 3 #.

Brug af fællesnævner # 10y (y + 3) # og i betragtning af kun tællere transformerer vi ligning (4) i:

# 10y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

Dette er en kvadratisk ligning, der kan omskrives som:

# 20Y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # eller

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

To løsninger til denne ligning er:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

eller

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Så vi har to løsninger til # Y #:

# Y_1 = 2 # og # Y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Tilsvarende bruger # X = y + 3 #, konkluderer vi, at der er to løsninger til et system:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

I begge tilfælde #x# er større end # Y # ved #3#, så den første betingelse for et problem er opfyldt.

Lad os kontrollere den anden betingelse:

(a) til en løsning # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - kontrolleret

(b) til en løsning # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - kontrolleret

Begge løsninger er korrekte.