Hvordan løser du uligheden 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Svar:

#x <- 5/2 farve (hvid) (xx) # eller #farve (hvid) (xx) -1 <x <2 #

Forklaring:

Først og fremmest bemærke, at din ulighed kun er defineret, hvis dine betegnelser ikke er lig med nul:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Nu ville dit næste skridt være at "slippe af" fraktionerne. Dette kan gøres, hvis man multiplicerer begge sider af uligheden med # x + 1 # og # x-2 #.

Men du skal være forsigtig, da hvis du multiplicerer en ulighed med et negativt tal, skal du vende ulighedstegnet.

=========================================

Lad os overveje de forskellige tilfælde:

sag 1: #farve (hvid) (xxx) x> 2 #:

Begge #x + 1> 0 # og #x - 2> 0 # holde. Således får du:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… beregne # -3x # og #+2# på begge sider…

# -2x> 5 #

… opdele ved #-2# på begge sider. Som #-2# er et negativt tal, du skal vende ulighedstegnet …

#x <- 5/2 #

Der er dog ingen #x# der opfylder både betingelsen #x> 2 # og #x <- 5/2 #. Således er der ingen løsning i dette tilfælde.

=========================================

sag 2: #farve (hvid) (xxx) -1 <x <2 #:

Her, #x + 1> 0 # men #x - 2 <0 #. Således skal du vende ulighedstegnet en gang, og du får:

#farve (hvid) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#farve (hvid) (x) -2x <5 #

… opdele ved #-2# og vend ulighedstegnet igen …

#farve (hvid) (xxx) x> -5 / 2 #

Uligheden #x> -5 / 2 # er sandt for alle #x# i intervallet # -1 <x <2 #. Således har vi i dette tilfælde løsningen # -1 <x <2 #.

=========================================

sag 3: #farve (hvid) (xxx) x <-1 #:

Her er begge denominatorer negative. Så hvis du multiplicerer uligheden med dem begge, skal du flip ulighedstegnet to gange, og du får:

#x - 2> 3x + 3 #

#farve (hvid) (i) -2x> 5 #

#farve (hvid) (xxi) x <- 5/2 #

Som betingelsen #x <-5 / 2 # er mere restriktive end betingelsen #x <-1 #, løsningen til denne sag er #x <- 5/2 #.

=========================================

I alt er løsningen

#x <- 5/2 farve (hvid) (xx) # eller #farve (hvid) (xx) -1 <x <2 #

eller, hvis du foretrækker en anden notation,

#x i (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Svar:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Forklaring:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

lad passere everithing til venstre side af uligheden ved at trække # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Nu må vi sætte alle de ulykkelige vi samme nævneren. Delen med (x + 1) vi multiplicerer med # (X-2) / (x-2) # (som er 1!) og vice versa:

# (X-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Vi gjorde det trick før, for at få alle de ulige med samme nævner:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (X + 1) (x-2) # svarer til en parabola, som giver positive værdier i inetervalen # -oo, -1 uu 2, + oo # og negative værdier i intervallet #-1, 2#. Husk at x ikke kan være -1 eller 2 på grund af at nævner nul.

I det første tilfælde (nævneren positiv) kan vi forenkle uligelsen i:

# -2x-5> 0 # og #x i -oo, -1 uu 2, + oo #

som giver:

#x <-5/2 # og #x i -oo, -1 uu 2, + oo #.

Aflytningen af intervaller ovenfor giver #x <-5/2 #.

I det andet tilfælde er nævneren negativ, så resultatet skal give et positivt tal, skal tælleren være negativ:

# -2x-5 <0 # og # x i -1, 2 #

hvilket giver

#x> -5/2 #. og # x i -1, 2 #

Aflytningen af intervaller giver # x i -1, 2 #

Sammenføjning af løsningerne i de to tilfælde opnår vi:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #