Dette er et trigonometrisk bevis på et generaliseret tilfælde, spørgsmålet er i detaljeringsboksen?

Svar:

Bevis ved induktion er nedenfor.

Forklaring:

Lad os bevise denne identitet ved induktion.

A. For # N = 1 # vi skal kontrollere det

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Faktisk bruger identitet #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #vi ser det

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

hvoraf følger det

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Så for # N = 1 # vores identitet gælder.

B. Antag, at identiteten er sandt for # N #

Så antager vi det

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j i 0, n-1) 2cos (2jtheta) -1

(symbol # Pi # bruges til produkt)

C. Brug antagelse B ovenfor, lad os bevise identiteten for # N + 1 #

Vi må bevise det fra antagelse B følger

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j i 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1

(bemærk at den rigtige grænse for et indeks for multiplikation er # N # nu).

BEVIS

Brug af en identitet #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # til # X = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Opdel begreb og slutter udtryk ved # 2cos (theta) +1 #, at få

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1

Nu bruger vi antagelse B at få

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j i 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j i 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(bemærk rækkevidden af et indeks nu udvides til # N #).

Den sidste formel er nøjagtig den samme til # N + 1 # som originalen er til # N #. Det kompletterer beviset ved induktion, at vores formel er sandt for nogen # N #.

Svar:

Se afsnittet Bevis i forklaring nedenfor.

Forklaring:

Dette svarer til at bevise, at

# (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1)

# (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1)

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# Vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) + 1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

Nyd matematik.!