Hvordan finder du grænsen for (arctan (x)) / (5x) som x nærmer sig 0?

Svar:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Forklaring:

For at finde denne grænse bemærkes, at både tælleren og nævneren går til #0# som #x# tilgange #0#. Det betyder, at vi får en ubestemt form, så vi kan anvende L'Hospital's regel.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Ved at anvende L'Hospital's regel tager vi derivat af tælleren og nævneren og giver os

# lx (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Vi kan også kontrollere dette ved at tegne funktionen for at få en ide om hvad #x# tilgange.

Graf af #arctan x / (5x) #:

graf {(arctan x) / (5x) -0,4536, 0,482, -0,0653, 0,4025}

Svar:

En længerevarende tilgang ved hjælp af trig er forklaret nedenfor.

Forklaring:

Bare hvis du ikke er fortrolig med L'Hopital's Rule eller endnu ikke har været udsat for det, indebærer en anden tilgang til løsning af problemet, at du bruger definitionen af arctangent-funktionen.

Husk at hvis # Tantheta = x #, derefter # Theta = arctanx #; dette betyder i det væsentlige, at arctangent er omvendt af tangent. Ved hjælp af denne info kan vi konstruere en trekant hvor # Tantheta = x # og # Theta = arctanx #:

Fra diagrammet er det klart, at # Tantheta = x / 1 = x #. Siden # Tantheta = sintheta / costheta #, kan vi udtrykke dette som:

# Tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Brug dette plus det faktum at # Theta = arctanx #, vi kan foretage udskiftninger inden for grænsen:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Dette svarer til:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

Vi ved det #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; så #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # eller #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. Og siden # Cos0 = 1 #, grænsen evalueres til:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#