Hvordan finder du de absolutte maksimale og absolutte minimumsværdier af f i det givne interval: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) på [-1, 5]?

Svar:

Reqd. ekstreme værdier er # -25 / 2 og 25/2 #.

Forklaring:

Vi bruger substitution # t = 5sinx, t i -1,5 #.

Vær opmærksom på, at denne substitution er tilladt, fordi

# t i -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, som holder godt, som rækkevidde af #synd# sjovt. er #-1,1#.

Nu, #F (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Siden, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Derfor reqd. ekstremiteter er # -25 / 2 og 25/2 #.

Svar:

Find monotoni af funktionen fra derivatets tegn og afgøre, hvilke lokale maksimum / minimum er den største, mindste.

Absolut maksimum er:

#F (3,536) = 12,5 #

Absolut minimum er:

#F (-1) = - 4,899 #

Forklaring:

#F (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Afledt af funktionen:

#F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#F '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#F '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#F '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#F '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#F '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Tælleren har to løsninger:

  # T_1 = sqrt (12,5) = 3,536 #

  # T_2 = -sqrt (12,5) = - 3,536 #

  Derfor er tælleren:

  Negativ for #t i (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Positivt for #t i (-3.536.3.536) #

• Nævneren er altid positiv i # RR #, da det er en kvadratrod.

  Endelig er den givne rækkevidde #-1,5#

Derfor er derivatet af funktionen:

- Negativ for #t i -1.3.536 #

- Positive for #t i (3.536,5) #

Det betyder, at grafen først går op fra #F (-1) # til #F (3,536) # og derefter går ned til #F (5) #. Dette gør #F (3,536) # det absolutte maksimum og den største værdi af #F (-1) # og #F (5) # er det absolutte minimum.

Absolut maksimum er #F (3,536) #:

#F (3,536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12,5 #

For det absolutte maksimum:

#F (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#F (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Derfor, #F (-1) = - 4,899 # er det absolutte minimum.

Du kan se fra grafen nedenfor, at dette er sandt. Bare ignorere området tilbage af #-1# da det er ude af domænet:

graf {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}