Hvordan løser du 1 + sinx = 2cos ^ 2x i intervallet 0 <= x <= 2pi?

Svar:

Baseret på to forskellige sager: #x = pi / 6, (5pi) / 6 eller (3pi) / 2 #

Se nedenfor for forklaringen af disse to sager.

Forklaring:

Siden, # cos ^ x + sin ^ 2 x = 1 #

vi har: # cos ^ 2 x = 1 - sin ^ 2 x #

Så vi kan erstatte # cos ^ 2 x # i ligningen # 1 + sinx = 2cos ^ 2x # ved # (1-sin ^ 2 x) #

# => 2 (1 - sin ^ 2 x) = sin x + 1 #

eller, # 2 - 2 sin ^ 2 x = sin x + 1 #

eller, # 0 = 2sin ^ 2 x + sin x + 1 - 2 #

eller, # 2sin ^ 2 x + sin x - 1 = 0 #

ved hjælp af den kvadratiske formel:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2- 4ac)) / (2a) # for kvadratisk ligning # Ax ^ 2 + bx + c = 0 #

vi har:

#sin x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2 - 4 * 2 * (- 1))) / (2 * 2) #

eller, #sin x = (-1 + -sqrt (1 + 8)) / 4 #

eller, #sin x = (-1 + -sqrt (9)) / 4 #

eller, #sin x = (-1 + -3) / 4 #

eller, #sin x = (-1 + 3) / 4, (-1-3) / 4 #

eller, #sin x = 1/2, -1 #

Sag I:

#sin x = 1/2 #

for betingelsen: # 0 <= x <= 2pi #

vi har:

# x = pi / 6 eller (5pi) / 6 # at få positiv værdi af # Sinx #

Sag II:

#sin x = -1 #

vi har:

# x = (3pi) / 2 # at få negativ værdi af # Sinx #