Hvad er en rationel funktion, der opfylder følgende egenskaber: En vandret asymptote ved y = 3 og en lodret asymptote på x = -5?

Svar:

#F (x) = (3x) / (x + 5) #

Forklaring:

graf {(3x) / (x + 5) -23,33, 16,67, -5,12, 14,88}

Der er sikkert mange måder at skrive en rationel funktion, der opfylder betingelserne ovenfor, men det var det nemmeste jeg kan tænke på.

For at bestemme en funktion for en bestemt vandret linje skal vi holde følgende i betragtning.

1. Hvis graden af nævneren er større end graden af tælleren, er den vandrette asymptote linjen #y = 0 #.

   ex: #F (x) = x / (x ^ 2 + 2) #

2. Hvis graden af tælleren er større end nævneren, er der ingen horisontal asymptote.

   ex: #f (x) = (x ^ 3 + 5) / (x ^ 2) #

3. Hvis graden af tælleren og nævneren er ens, svarer den vandrette asymptot til tællerens førende koefficient divideret med nøglerens førende koefficient

   ex: #F (x) = (6x ^ 2) / (2x ^ 2) #

Den tredje erklæring er, hvad vi skal huske på for dette eksempel, så vores rationelle funktion skal have samme grad i både tælleren og nævneren, men også kvotienten af ledende koefficienter skulle være ens #3#.

Hvad angår den funktion, jeg gav, #F (x) = (3x) / (x + 5) #

Både tælleren og nævneren har en grad af #1#, så den vandrette asymptote er kvoten af tællernes førende koefficienter over nævneren: #3/1 = 3# så den vandrette asymtopte er linjen # Y = 3 #

For den lodrette asymptote husker vi, at alt det virkelig betyder, er hvor grafen er vores funktion udefineret. Da vi taler om et rationelt udtryk, er vores funktion udefineret, når nævneren er lig med #0#.

Hvad angår den funktion, jeg gav, #F (x) = (3x) / (x + 5) #

Vi sætter nævneren lig med #0# og løse for #x#

# x + 5 = 0 -> x = -5 #

Så vores lodrette asymptote er linjen # x = -5 #

I det væsentlige afhænger den vandrette asymptot af graden af både tælleren og nævneren. Den vertikale asymptote bestemmes ved at sætte nævneren lig med #0# og løse for #x#