Hvad er den lokale ekstrem, hvis nogen af f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Svar:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) ca. 0.541 #

Forklaring:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Anvendelse af produktreglen

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

For lokale maksima eller minima: #f '(x) = 0 #

Lade # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 eller z = -2 #

Derfor for lokale maksimum eller minimum:

#lnx = 0 eller lnx = -2 #

#:. x = 1 eller x = e ^ -2 ca. 0.135 #

Undersøg nu grafen for #x (LNX) ^ 2 # under.

graf {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

Vi kan observere det forenklede #F (x) # har et lokalt minimum på # X = 1 # og et lokalt maksimum på #x i (0, 0,25) #

Derfor: #f_min = f (1) = 0 # og #f_max = f (e ^ (- 2)) ca. 0.541 #

Hvad er den lokale ekstrem, hvis nogen af f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x har et lokalt minimum for x = 1 og et lokalt maksimum for x = 3 Vi har: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) Funktionen er defineret i alle RR som x ^ 2 + 3> 0 AA x Vi kan identificere de kritiske punkter ved at finde, hvor det første derivat er lig med nul: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 så de kritiske punkter er: x_1 = 1 og x_2 = 3 Da nævneren altid er positiv, er tegnet af f '(x) det modsatte af tegn på tælleren (x ^ 2-4x + 3) Nu ved vi, at et andenordenspol

Hvad er den lokale ekstrem, hvis nogen, af f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3?

Lokalt maksimum på 80 (ved x = -1) og lokalt minimum på -80 (ved x = 1 .f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Kritiske tal er: -1, 0 og 1 Skiltet for f 'skifter fra + til - da vi passerer x = -1, så f (-1) = 80 er et lokalt maksimum . (Eftersom f er mærkeligt, kan vi straks konkludere, at f (1) = - 80 er et relativt minimum, og f (0) er ikke et lokalt ekstremt.) Tegnet på f 'ændres ikke, da vi passerer x = 0, så f (0) er ikke et lokalt ekstremt. Tegnet på f 'skifter fra - til + når vi passerer x = 1, så f (1) = -80 er

Hvad er den lokale ekstrem, hvis nogen af f (x) = 2x + 15x ^ (2/15)?

Lokalt maksimum på 13 ved 1 og lokalt minimum 0 ved 0. Domæne af f er RRf '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 ved x = -1 og f' (x) eksisterer ikke ved x = 0. Både -1 og 9 er i f-domænet, så de er begge kritiske tal. Første derivat test: On (-oo, -1), f '(x)> 0 (for eksempel ved x = -2 ^ 15) On (-1,0), f' (x) <0 (for eksempel ved x = -1 / 2 ^ 15) Derfor er f (-1) = 13 et lokalt maksimum. På (0, oo), f '(x)> 0 (brug nogen stor positiv x) Så f (0) = 0 er et lokalt minimum.