En superhelt lancerer sig fra toppen af en bygning med en hastighed på 7,3 m / s i en vinkel på 25 over vandret. Hvis bygningen er 17 m høj, hvor langt vil han rejse vandret før man når jorden? Hvad er hans endelige hastighed?

Et diagram af dette ville se sådan ud:

Hvad jeg ville gøre er at liste, hvad jeg ved. Vi vil tage negativt som nede og venstre som positiv.

#h = "17 m" #

#vecv_i = "7.3 m / s" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9,8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

DEL ONE: ASCENSIONEN

Hvad jeg ville gøre er at finde, hvor spids er at bestemme # Deltavecy #, og derefter arbejde i et frit fald scenario. Bemærk at ved toppen, #vecv_f = 0 # fordi personen ændrer retning på grund af tyngdekraftenes dominans ved at formindske den vertikale komponent af hastigheden gennem nul og ind i negativerne.

En ligning der involverer # Vecv_i #, # Vecv_f #, og # Vecg # er:

# mathbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

hvor vi siger #vecv_ (fy) = 0 # ved toppunktet.

Siden #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # og #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # og denne ligning spørger os faktisk at bruge #g <0 #.

Til del 1:

#color (blå) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2 / / 2g) = farve (blå) ((- v_ (iy) 2) / (2g))> 0 #

hvor #vecv_ (fy) = 0 # er den endelige hastighed for del 1.

Husk at en vertikal hastighed har a # Sintheta # komponent (trække en højre trekant og få den #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # forhold).

#color (grøn) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

Nu hvor vi har # Deltavecy # og det ved vi # Vecv_y # har ændret retning, vi kan antage frit fald forekommer.

Det total højde af efteråret er #farve (grøn) (h + Deltavecy) #. Det er noget, vi kan bruge til del 2.

Jeg får # Deltavecy # at være om # "0.485 m" # og #h + Deltavecy # at være om #farve (blå) ("17.485 m") #.

DEL TO: DEN FRIE FALL

Vi kan igen behandle # Y # retning uafhængigt af #x# retning siden #veca_x = 0 #.

På toppen, husk det #farve (grøn) (vecv_ (iy) = 0) #, som er den indledende hastighed for del 2, og var den endelige hastighed til dels 1. Nu kan vi bruge en anden 2D kinematikligning. Husk at den samlede højde ikke er # Deltavecy # her!

# mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "freefall" ^ 2) + annullere (v_ (iy) t_ "freefall") ^ (0) #

Nu kan vi bare løse for den tid det tager at ramme jorden fra toppunktet.

#color (grøn) (t_ "freefall") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = farve (grøn) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g)) / g)) #

og selvfølgelig er tiden naturligvis ikke nogenlunde negativ, så vi kan ignorere det negative svar.

… Og vi kommer derhen.

DEL TREM: LØSNING FOR HORISONTAL AFSTAND

Vi kan genbruge den samme kinematikligning som den tidligere undersøgte. En af de ting, vi har været på, er # DeltaX #, som er:

#color (blå) (Deltax) = annuller (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

Og som før, brug en trig relation til at få #x# komponent (# Costheta #).

# = farve (blå) (vecv_icostheta * t_ "overall")> 0 #

hvor #t_ "samlet" # er ikke hvad vi fik delvist 2, men vil omfatte tiden #t_ "spring" # går fra bygningen til toppen af flyvningen og #t_ "frit fald" # som vi erhvervede tidligere.

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "spring" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "spring" #

Med #Deltag ~ ~ "0.485 m" #. Når vi løser dette ved hjælp af kvadratisk ligning, ville det give:

#t_ "spring" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |))) / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~~ "0.3145 s" #

Inkluder den tid, der er erhvervet for apex til jorden, og du bør få om #farve (blå) ("2.20 s") # for hele flyvningen. Lad os kalde dette #t_ "samlet" #.

#t_ "overall" = t_ "spring" + t_ "freefall" #

Ved brug af #t_ "samlet" #, Jeg får #color (blå) (Deltavecx ~~ "14.58 m") #.

DEL VI: LØSNING TIL DET ENDELIGE VELOCITY

Nu skal det kræve lidt mere tænkning. Vi ved det #h = "17 m" # og vi har # DeltaX #. Derfor kan vi bestemme vinklen i forhold til den vandrette jord.

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#color (blå) (theta '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx)))) #

Bemærk, hvordan vi brugte #h + Deltavecy # siden vi faktisk sprang opad før vi faldt, og vi hoppede ikke lige frem. Så vinklen # Theta # involverer # DeltaX # og total højde, og vi vil tage den størrelsesorden af den samlede højde for dette.

Og endelig siden # Vecv_x # har ikke ændret sig hele tiden (vi ignorerer luftmotstand her):

#color (grøn) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= farve (grøn) (vecv_icostheta')> 0 #

hvor # Vecv_i # er indledende hastighed fra del 1. Nu skal vi bare vide hvad #vecv_ (fy) # er delvist 2. Gå tilbage til begyndelsen for at se:

#vecv_ (fy) ^ 2 = annullere (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vecg * (h + Deltavecy) #

Derfor bliver dette:

#color (grøn) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy))) <0 #

Husk at vi definerede ned som negativ, så # h + Deltay <0 #.

Okay, vi er næsten der. Vi bliver bedt om # Vecv_f #. Derfor slutter vi ved at bruge Pythagoras sætning.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (blå) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

Samlet set, #color (blue) (| vecv_f | ~~ "19.66 m / s") #.

Og det ville være alt sammen! Tjek dit svar og fortæl mig, om det har fungeret.

Her vel. af projektion, # V = 7.3ms ^ -1 #

vinklen. af projektion,# Alpha = 25 ^ 0 # over vandret

Den opadrettede lodrette komponent af projektionshøjde,# vsinalpha = 7,3 * sin25 ^ 0 = 7,3 * 0,42ms ^ -1 ~ ~ 3,07ms ^ -1 #

Bygningen er 17m høj, den netto lodrette forskydning når jorden vil være # H = -17m # som superhelten projicerede sig opad (taget positiv her)

Hvis tidspunktet for flyvningen, dvs tiden for at nå jorden, anses for at være T

derefter ved hjælp af formlen #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # vi kan have

# => - 17 = 3,07 * T-0,5 * 9,8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

at dele begge sider med 4,9 får vi

# => T ^ 2-0.63T-3,47 = 0 #

# => T = (0,63 + sqrt ((- 0,63) ^ 2-4 * 1 * (- 3,47))) / 2 ~~ 2.20s #

(negativ tid kasseret)

Så Heltens Horisontale forskydning før det kommer til jorden vil være

# = T * vcosalpha = 2,20 ** 7.3cos (25 ^ 0) ~~ 14.56m #

Beregning af hastighed på tidspunktet for at nå jorden

Lodret komponenthastighed på tidspunktet for at nå jorden

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9,8) xx (-17) #

Igen vandret komponent af hastigheden på tidspunktet for at nå jorden

# => V_x = ucosalpha #

Således resulterende hastighed på tidspunktet for at nå jorden

# V_r = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (u ^ 2sin ^ 2alpha + u ^ 2cos ^ 2alpha-2xx9.8xx17) #

# => V_r = sqrt (u ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => V_r = sqrt (7,3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19,66 "m / s" #

Retning af # V_r # med vandret# = Tan ^ -1 (v_y / v_x) #

# = Tan ^ -1 (sqrt (u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9,8) xx (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7.3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9,8) xx (-17)) / (7,3cos25)) #

# = 70.3 ^ @ -> "nedad med vandret" # #

Er det nyttigt?