Hvad er halvvinkelidentiteterne?

Halvvinkelidentiteterne er defineret som følger:

# mathbf (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / 2)) #

#(+)# for kvadranter jeg og II

#(-)# for kvadranter III og IV

# mathbf (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cosx) / 2)) #

#(+)# for kvadranter jeg og IV

#(-)# for kvadranter II og III

# mathbf (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)))

#(+)# for kvadranter jeg og III

#(-)# for kvadranter II og IV

Vi kan udlede dem fra følgende identiteter:

# sin ^ 2x = (1-cos (2x)) / 2 #

# sin ^ 2 (x / 2) = (1-cos (x)) / 2 #

#color (blå) (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) #

At vide hvordan # Sinx # er positiv for #0-180^@# og negativt for #180-360^@#, vi ved, at det er positivt for kvadranter jeg og II og negativt for III og IV.

# cos ^ 2x = (1 + cos (2x)) / 2 #

# cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cos (x)) / 2 #

#color (blå) (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

At vide hvordan # Cosx # er positiv for #0-90^@# og #270-360^@#, og negativ for #90-270^@#, vi ved, at det er positivt for kvadranter jeg og IV og negativt for II og III.

# (xs2) = sin (x / 2) / (cos (x / 2)) = (pmsqrt ((1-cos (x)) / 2))) / 2)) #

#farve (blå) (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / (1 + cos (x)))))

Vi kan se det, hvis vi tager betingelserne for positive og negative værdier fra # Sinx # og # Cosx # og opdele dem, får vi at dette er positivt for kvadranter jeg og III og negativt for II og IV.