Triangle A har et areal på 15 og to sider med længder 4 og 9. Trekant B svarer til trekant A og har en side af længde 12. Hvad er de maksimale og mindste mulige områder af trekant B?

Svar:

135 og #~~15.8#, henholdsvis.

Forklaring:

Den vanskelige ting i dette problem er, at vi ikke ved, hvilken af træets sider af den oprindelige trekant svarer til den ene af længden 12 i den tilsvarende trekant.

Vi ved at området for en trekant kan beregnes ud fra Herons formel

#A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-x)} #

For vores trekant har vi # A = 4 # og # B = 9 # også # s = {13 + c} / 2 #, # s-a = {5 + c} / 2 #, # s-b = {c-5} / 2 # og # s-c = {13-c} / 2 #. Dermed

# 15 ^ 2 = {13 + c} / 2 xx {5 + c} / 2 xx {c-5} / 2 xx {13-c} / 2 #

Dette fører til en kvadratisk ligning i # C ^ 2 #:

# c ^ 4 - 194 c ^ 2 + 7825 = 0 #

hvilket fører til enten # c ~ ~ 11.7 # eller # c ~~ 7.5 #

Så den maksimale og minimale mulige værdi for siderne af vores oprindelige trekant er henholdsvis 11,7 og 4. Således er den maksimale og mindste mulige værdi af skaleringsfaktoren #12/4=3# og #12/11.7~~ 1.03#. Da arealer skalaer som firkantede længder, er de maksimale og mindste mulige værdier for området af den tilsvarende trekant # 15 xx 3 ^ 2 = 135 # og # 15 xx 1.03 ^ 2 ~ ~ 15.8 #, henholdsvis.