Hvordan finder du volumenet af regionen omgivet af kurverne y = x ^ 2 - 1 og y = 0 roteret rundt om linjen x = 5?

Svar:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2DY = pi (85 + 1/3) #

Forklaring:

For at beregne dette volumen vil vi på en eller anden måde skære det i (uendeligt slanke) skiver.

Vi forestiller regionen for at hjælpe os med dette, jeg har vedlagt grafen, hvor regionen er den del under kurven. Vi bemærker det # Y = x ^ 2-1 # krydser linjen # X = 5 # hvor # Y = 24 # og at det krydser linjen # Y = 0 # hvor # X = 1 # graf {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Når du skærer denne region i vandrette skiver med højde #D y# (en meget lille højde). Længden af disse skiver afhænger meget af y-koordinaten. For at beregne denne længde skal vi kende afstanden fra et punkt # (Y, x) # på linjen # Y = x ^ 2-1 # til punktet (5, y). Selvfølgelig er det sådan # 5-x #, men vi vil gerne vide, hvordan det afhænger af det # Y #. Siden # Y = x ^ 2-1 #, vi ved # X ^ 2 = y + 1 #, siden vi har #x> 0 # for regionen er vi interesserede i, # X = sqrt (y + 1) #Derfor er denne afstand afhængig af # Y #, som vi skal betegne som #R (y) # er givet af #R (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Nu roterer vi denne region rundt # X = 5 #, det betyder, at hvert skive bliver en cylinder med højde #D y# og radius #R (y) #, derfor et volumen #pir (y) ^ 2DY #. Alt vi skal gøre nu er at tilføje disse uendeligt små mængder ved hjælp af integration. Vi bemærker det # Y # går fra #0# til #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.