To satellitter P_ "1" og P_ "2" drejer sig om kredse R og 4R. Forholdet mellem maksimale og minimale vinkelhastigheder for linieforbindelsen P_ "1" og P_ "2" er ??

Svar:

#-9/5#

Forklaring:

Ifølge Kepler's tredje lov, # T ^ 2 propto R ^ 3 indebærer omega propto R ^ {- 3/2} #, hvis vinkelhastigheden af den ydre satellit er # Omega #, den indre er #omega gange (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Lad os overveje # T = 0 # at være et øjeblik, når de to satellitter er kollinære med moderplaneten, og lad os tage denne fælles linje som #X# akse. Derefter koordinerer de to planeter til tiden # T # er # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # og # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, henholdsvis.

Lade # Theta # Vær den vinkel, linjen forbinder de to satellitter gør med #X# akse. Det er let at se det

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -koser (8 omega t)) #

Differentieringsudbytter

# ss 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -koser (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -koser (8 omega t)) ^ - 2 gange #

#qquad (4 cos (omega t) -koser (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) -

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t))

Dermed

# (4 cos (omega t) -koser (8 omega t)) 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -koser (8 omega t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t))

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) indebærer #

# (17-8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) indebærer #

# (d theta) / dt = 12 omega (2-3 cos (7 omega t)) / (17-8 cos (7 omega t)) ækvivalent 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Hvor funktionen

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

har derivatet

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

og er dermed monotont faldende i intervallet #-1,1#.

Således er vinkelhastigheden # (d theta) / dt # er maksimum når #cos (7 omega t) # er minimum og omvendt.

Så, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 gange (-1)) / (17-8 gange (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega gange 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 gange 1) / (17-8 gange 1)

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega gange (-1) / 9 = -4/3 omega #

og så forholdet mellem de to er:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Bemærk Det faktum, at # (d theta) / dt # Ændringer tegn er årsagen til såkaldt tilsyneladende retrograd bevægelse