Hvad er Taylorserien af f (x) = arctan (x)?

#F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Lad os se på nogle detaljer.

#F (x) = arctanx #

#F '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Husk at den geometriske power-serie

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

ved at erstatte #x# ved # -X ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Så, #F '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Ved at integrere, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

ved at sætte det integrerede tegn inde i summen, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

ved Power Rule, # = Sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Siden #F (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

derfor

#F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #