For hvilke værdier af x er f (x) = (- 2x) / (x-1) konkave eller konvekse?

Svar:

Undersøg tegnet af 2. derivatet.

Til #X <1 # funktionen er konkav.

Til #x> 1 # funktionen er konveks.

Forklaring:

Du skal studere krumning ved at finde det 2. derivat.

#F (x) = - 2x / (x-1) #

1. derivat:

#F '(x) = - 2 ((x)' (x-1) -x (x-1) «) / (x-1) ^ 2 #

#F '(x) = - 2 (1 * (x-1) -x * 1) / (x-1) ^ 2 #

#F '(x) = - 2 (x-1-x) / (x-1) ^ 2 #

#F '(x) = 2 * 1 / (x-1) ^ 2 #

2. derivat:

#F '' (x) = (2 * (x-1) ^ - 2) '#

#F '' (x) = 2 ((x-1) ^ - 2) '#

#F '' (x) = 2 * (- 2) (x-1) ^ - 3 #

#F '' (x) = - 4 / (x-1) ^ 3 #

Nu tegnet af #F '' (x) # skal undersøges. Nævneren er positiv, når:

# - (x-1) ^ 3> 0 #

# (X-1) ^ 3 <0 #

# (X-1) ^ 3 <0 ^ 3 #

# x-1 <0 #

#X <1 #

Til #X <1 # funktionen er konkav.

Til #x> 1 # funktionen er konveks.

Bemærk: pointen # X = 1 # blev udelukket fordi funktionen #F (x) # kan ikke defineres for # X = 1 #, da denumiratoren ville blive 0.

Her er en graf, så du kan se med dine øjne:

graf {(- 2x) / (x-1) -14,08, 17,95, -7,36, 8,66}