For hvilke værdier af x er f (x) = x-x ^ 2e ^ -x konkave eller konvekse?

Svar:

Find det andet derivat og kontroller dets tegn. Det er konveks, hvis det er positivt og konkavt, hvis det er negativt.

Konkav for:

#x i (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Konvekse for:

#x i (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Forklaring:

#F (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Første derivat:

#F '(x) = 1- (2XE ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#F '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Tage # E ^ -x # som en fælles faktor for at forenkle næste derivat:

#F '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Andet derivat:

#F '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#F '' (x) = e ^ -x * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

#F '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Nu skal vi studere skiltet. Vi kan skifte skiltet for let at løse kvadratet:

#F '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

At gøre det kvadratiske et produkt:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Derfor:

#F '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• En værdi af #x# mellem disse to løsninger giver et negativt kvadratisk tegn, mens enhver anden værdi af #x# gør det positivt.
• Enhver værdi af #x# mærker # E ^ -x # positiv.
• Det negative tegn ved starten af funktionen vendes alle tegnene.

Derfor, #F '' (x) # er:

Positiv, derfor konkav for:

#x i (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negativ, derfor konveks for:

#x i (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #