Hvordan finder du asymptoterne for y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Svar:

Lodret

# X = 1 #

# X = 3 #

Vandret

# X = 1 # (for begge # + - oo #)

Oblique

Eksisterer ikke

Forklaring:

Lade # Y = f (x) #

• Vertikale asymptoter

Find grænserne for funktionen, da den har tendens til grænserne for dens domæne undtagen uendeligt. Hvis deres resultat er uendeligt, end det #x# linie er en asymptote. Her er domænet:

#x i (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Så den 4 muligt lodrette asymptoter er:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

asymptote # X-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Lodret asymptote for # X = 1 #

Bemærk: for # x-1 # siden #x# er lidt lavere end 1, vil resultatet være noget lidt lavere end 0, så tegnet vil være negativt, og dermed notatet #0^-# som senere oversætter til et negativt tegn.

Bekræftelse for asymptote # X-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # bekræftet

asymptote # X-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Lodret asymptote for # X = 3 #

Bekræftelse for asymptote # X-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # bekræftet

• Horisontale asymptoter

Find begge grænser som funktionen har tendens til # + - oo #

Minus uendelighed #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (annullere (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (annullere (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horisontal asymptote for # Y = 1 #

Plus uendeligt #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (annullere (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (annullere (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horisontal asymptote for # Y = 1 #

Bemærk: Det sker bare så, at denne funktion har en fælles horisontal for begge # -Oo # og # + Oo #. Du bør altid kontrollere begge dele.

• Skrånende asymptoter

Du skal først finde begge grænser:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

For hver, hvis denne grænse er et reelt tal, findes asymptoten, og grænsen er dens hældning. Det # Y # aflytning af hver er grænsen:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Men for at redde os besværet, kan du bruge nogle funktioner "viden" for at undgå dette. Da vi ved det #F (x) # har vandret asymptote for begge dele # + - oo # Den eneste måde at have en skrå på har en anden linje som #x -> + - oo #. Imidlertid, #F (x) # er en #1-1# funktion, så der kan ikke være to # Y # værdier for en #x#Derfor er en anden linje umulig, så det er umuligt at have skrå asymptoter.