Hvad er determinant for en matrix til en kraft?

Svar:

#det (A ^ n) = det (A) ^ n #

Forklaring:

En meget vigtig egenskab af determinanten af en matrix er, at den er en såkaldt multiplikativ funktion. Det kortlægger en matrix af tal til et tal på en sådan måde, at den er til to matricer # A, B #,

#det (AB) = det (A) det (B) #.

Dette betyder, at for to matricer,

#det (A ^ 2) = det (A A) #

# = Det (A) det (A) = det (A) ^ 2 #,

og for tre matricer,

#det (A ^ 3) = det (A ^ 2A) #

# = Det (A ^ 2) det (A) #

# = Det (A) ^ 2det (A) #

# = Det (A) ^ 3 #

og så videre.

Derfor generelt #det (A ^ n) = det (A) ^ n # for nogen # NinNN #.

Svar:

# | bb A ^ n | = | bb A | ^ n #

Forklaring:

Brug af ejendommen:

# | bbA bbB | = | bb A | | bb B | #

Så har vi:

# | bb A ^ n | = | underbrace (bb A bb A bb A … bb A) _ ("n vilkår") | #

# = | bb A | | bb A | | bb A | …. | bb A | #

# = | bb A | ^ n #