En cirkel har et center, der falder på linjen y = 7 / 2x +3 og passerer gennem (1, 2) og (8, 1). Hvad er ligningen af cirklen?

Svar:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Forklaring:

Punkt A #(1,2)# og punkt B #(8,1)# skal være den samme afstand (en radius) fra midten af cirklen

Dette ligger på linjepunktet (L), som er lige lige fra A og B

Formlen til beregning af afstanden (d) mellem to punkter (fra pythagorus) er # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

erstatte i det, vi kender til punkt A og et vilkårligt punkt på L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

erstatte i det, vi kender til punkt B og et vilkårligt punkt på L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Derfor

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Udvid parenteserne

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Forenkle

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

midtpunktet ligger på linjen #y = 7x - 30 # (sæt af punkter ligeligt fra A og B)

og på linjen #y = 7x / 2 + 3 # (Givet)

løse, hvor disse to linjer krydser for at finde midten af cirklen

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

erstatte i #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Cirkelens centrum er ved #(66/7, 36)#

cirklens kvadratiske radius kan nu beregnes som

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Den generelle formel for en cirkel eller radius # R # er

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # med centrum ved h, k

Vi ved nu # H #, # K # og # R ^ 2 # og kan erstatte dem med den generelle ligning for cirklen

# (x - 66/7) ^ 2 + (y-36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

udvide parenteserne

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2-72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

og forenkle

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #