Hvad er logaritmen for et negativt tal?

Logaritmer af negative tal defineres ikke i de reelle tal, på samme måde som firkantede rødder af negative tal ikke er defineret i de reelle tal. Hvis du forventes at finde loggen af et negativt tal, er et svar på "undefined" i de fleste tilfælde tilstrækkeligt.

Det er muligt at evaluere en, men svaret vil være et komplekst tal. (et nummer af formularen #a + bi #, hvor #i = sqrt (-1) #)

Hvis du er bekendt med komplekse tal og føler dig godt tilpas med dem, så læs videre.

Lad os først starte med en generel sag:

#log_b (-x) =? #

Vi vil bruge reglen om ændring af base og konvertere til naturlige logaritmer for at gøre tingene lettere senere:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Noter det #ln (-x) # er det samme som #ln (-1 * x) #. Vi kan udnytte logaritmerne til tilføjelsesegenskaberne og adskille denne del i to separate logfiler:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Nu er det eneste problem at finde ud af hvad #ln (-1) # er. Det kan måske se ud som en umulig ting at evaluere i starten, men der er en temmelig berømt ligning kendt som Eulers identitet, der kan hjælpe os.

Eulers identitet siger:

# e ^ (ipi) = -1 #

Dette resultat kommer fra power-serieudvidelser af sinus og cosinus. (Jeg vil ikke forklare det for dybtgående, men hvis du er interesseret, er der en fin side her, der forklarer lidt mere)

For nu, lad os simpelthen tage den naturlige log på begge sider af Euler's Identity:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Forenklet:

#ipi = ln (-1) #

Så nu hvor vi ved hvad #ln (-1) # er, vi kan erstatte tilbage i vores ligning:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Nu har du en formel til at finde logfiler af negative tal. Så hvis vi ønsker at evaluere noget lignende # log_2 10 #, kan vi blot tilslutte nogle få værdier:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #