Hvad er summen af rødderne af ligningen 4 ^ x - 3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0?

I betragtning af ligningen

# 4 ^ x-3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0 #

# => (2 ^ 2) ^ x-3 (2 ^ x * 2 ^ 3) + 128 = 0 #

# => (2 ^ x) ^ 2-3 (2 ^ x * 8) + 128 = 0 #

tager # 2 ^ x = y # ligningen bliver

# => Y ^ 2-24y + 128 = 0 #

# => Y ^ 2-16y-8Y + 128 = 0 #

# => Y (y-16) -8 (y-16) = 0 #

# => (Y-16) (y-8) = 0 #

Så #y = 8 og y = 16 #

hvornår # Y = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 #

hvornår # Y = 16 => 2 ^ x = 2 ^ 4 => x = 4 #

Derfor er rødder # 3 og 4 #

Så summen af rødderne er #=3+4=7#

Svar:

#7#

Forklaring:

Hvis #p (x) = (x-a) (x-b) = x ^ 2- (a + b) x + ab #

det #x# koefficient er summen af rødder.

I # (2x) ^ 2-24 cdot 2 ^ x + 128 # det har vi

#24# er summen af # R_1 # og # R_2 # sådan at

# (2 ^ x-r_1) (2 ^ x-r_2) = 0 #

Også vi har # r_1r_2 = 2 ^ 7 = 2 ^ 3 2 ^ 4 # og

# r_1 + r_2 = 3 cdot 2 ^ 3 = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 #

derefter

# R_1 = 2 ^ 3-> x_1 = 3 # og

# R_2 = 2 ^ 4-> x_2 = 4 # så

# X_1 + x_2 = 7 #