Hvad er minimumsværdien af g (x) = x / csc (pi * x) på intervallet [0,1]?

Svar:

Der er en minimumsværdi på #0# placeret begge på # X = 0 # og # X = 1 #.

Forklaring:

For det første kan vi straks skrive denne funktion som

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Minder om det #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Nu for at finde minimumsværdier på et interval, genkend at de kunne forekomme enten i intervallets endepunkter eller ved eventuelle kritiske værdier, der forekommer inden for intervallet.

For at finde de kritiske værdier inden for intervallet skal du definere derivatet af funktionen som #0#.

Og for at differentiere funktionen bliver vi nødt til at bruge produktregel. Anvendelse af produktreglen giver os

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Hver af disse derivater giver:

# D / dx (x) = 1 #

Og gennem kæde regel:

# D / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Ved at kombinere disse ser vi det

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Således vil kritiske værdier forekomme hver gang

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Vi kan ikke løse dette algebraisk, så brug en lommeregner til at finde alle denne funktions nuller i det givne interval #0,1#:

graf {sin (pix) + pixcos (pix) -l, 1,1, -3, 2,02}

De to kritiske værdier inden for intervallet er på # X = 0 # og # Xapprox0.6485 #.

Så vi ved, at minimumsværdien af #g (x) # kunne forekomme hos #3# forskellige steder:

• # X = 0 # eller # X = 1 #, intervallets endepunkter
• # X = 0 # eller # X = 0,6485 #, de kritiske værdier inden for intervallet

Indsæt nu alle disse mulige værdier i intervallet:

# {(G (0) = 0, farve (rød) tekst (minimum)), (g (0,6485) = 0,5792, farve (blå) tekst (maksimum)), (g (1) = 0, farve (rød) tekst (minimum)):} #

Da der er to værdier, der er lige lave, er der minima både på # X = 0 # og # X = 1 #. Bemærk, at selvom vi gik igennem for at finde problemerne med # X = 0,6485 #, det var ikke engang et minimum.

Gravet er #g (x) # på intervallet #0,1#:

graf {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Bemærk også, at minimumsværdien er #0#, siden #g (0) = g (1) = 0 #. Sondringen er det # X = 0 # og # X = 1 # er placeringerne af minima.