Hvad er de lokale maxima og minima for f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Svar:

#F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Denne funktion har en lodret asymptote på # X = 2 #, tilgange #1# fra oven som x går til # + oo # (vandret asymptote) og tilgange #1# fra neden som x går til # -oo #. Alle derivater er udefinerede på # X = 2 # såvel. Der er en lokal minima på # X = 0 #, # Y = 0 # (Alt det besvær for oprindelsen!)

Bemærk, at du måske vil tjekke min matematik, selv det bedste af os slipper det ulige negative tegn, og dette er et langt spørgsmål.

Forklaring:

#F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Denne funktion har en lodret asymptote på # X = 2 #, fordi nævneren er nul, når # X = 2 #.

Det nærmer sig #1# fra oven som x går til # + oo # (vandret asymptote) og tilgange #1# fra neden som x går til # -oo #, fordi for store værdier # X ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # med # X ^ 2> (x-2) ^ 2 # til #x> 0 # og # X ^ 2 <(x-2) ^ 2 # til #X <0 #.

For at finde max / min har vi brug for første og anden derivat.

# {df (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Brug kvotientreglen!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {) ^ 4}) #.

Brug af regel for magt og kædelegemet får vi:

# {df (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Vi har nu slået lidt op …

# {df (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2)

# {df (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {df (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Nu er det andet derivat gjort som det første.

(xx2) + 4x (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

(x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

(x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Det er grimt, men vi skal kun plugge og notere, hvor det er dårligt opført.

# {df (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Denne funktion er udefineret på # X = 2 #, at asymptote, men ser fint ud overalt ellers.

Vi vil gerne vide, hvor max / min er …

vi sætter # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # Dette er nul, når tælleren er nul, og hvis nævneren ikke er.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # eller # 4x (2-x) = 0 # Dette er nul hos # X = 0 # og # X = 2 #, men vi kan ikke have en max / min, hvor derivaten / funktionen er udefineret, så den eneste mulighed er # X = 0 #.

"den anden afledte test"

Nu ser vi på det andet derivat, grimt som det er …

(x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Ligesom funktionen og det første derivat er dette udefineret på # X = 2 #, men ser godt ud overalt ellers.

Vi tilslutter # X = 0 # ind i # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, er ikke nul et dejligt tal for at tilslutte det?

#=128/256# alt det for #1/2#

#1/2 >0# så # X = 0 # er en lokal minima.

For at finde y-værdien skal vi tilslutte den til funktionen.

#F (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Oprindelsen!