Hvad er ekstreme og sadelpunkter af f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Svar:

Forklaring:

Vi har:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Trin 2 - Identificer kritiske punkter

Et kritisk punkt opstår ved en samtidig opløsning af

# f_x = f_y = 0 iff (delvis f) / (delvist x) = (delvist f) / (delvis y) = 0 #

dvs. når:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Løsning af A og B samtidig giver vi en enkelt løsning:

# x = y = 1 #

Så vi kan konkludere, at der er et kritisk punkt:

# (1,1) #

Trin 3 - Klassificer de kritiske punkter

For at klassificere de kritiske punkter udfører vi en test svarende til den for en variabel beregning ved hjælp af de andre partielle derivater og Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (xx) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | (delvist ^ 2 f) / (delvist x 2), (delvist ^ 2 f) / (delvist x delvist y)), ((delvist ^ 2 f) /) / (delvis y ^ 2)) = f_ (xx) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Derefter afhænger værdien af # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Der er maksimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et minimum hvis" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "der er et sadelpunkt"), (Delta = 0, "Yderligere analyse er nødvendig"):} #

Ved hjælp af brugerdefinerede Excel-makroer beregnes funktionsværdierne sammen med de partielle afledte værdier som følger: