Hvad er den lokale ekstrem af f (x) = xlnx-xe ^ x?

Svar:

Denne funktion har ingen lokal ekstrem.

Forklaring:

#f (x) = xlnx-xe ^ x indebærer #

#g (x) ækvf ^ ^ (x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Til #x# at være en lokal ekstrem, #g (x) # skal være nul. Vi vil nu vise, at dette ikke sker for nogen reel værdi af #x#.

Noter det

(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {''} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Dermed #g ^ '(x) # vil forsvinde hvis

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Dette er en transcendentlig ligning, der kan løses numerisk. Siden #g ^ '(0) = + oo # og #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, roden ligger mellem 0 og 1. Og siden #g ^ {''} (0) <0 # for alle positive #x#, dette er den eneste rod og det svarer til et maksimum for #g (x) #

Det er ret nemt at løse ligningen numerisk, og det viser det #g (x) # har en maksimum på # X = 0,3152 # og den maksimale værdi er # g (0,3152) = -1,957 #. Siden den maksimale værdi af #g (x) # er negativ, der er ingen værdi af #x# på hvilket #g (x) # forsvinder.

Det kan være lærerigt at se på dette grafisk:

graf {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Som du kan se fra ovenstående graf, er funktionen #F (x) # faktisk har et maksimum på # X = 0 # - men dette er ikke et lokalt maksimum. Grafen nedenfor viser det #g (x) equiv f ^ '(x) # tager aldrig værdien nul.

graf {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}