Bevis at funktionen ikke har lim i x_0 = 0? + Eksempel

Svar:

Se forklaring.

Forklaring:

Ifølge Heines definition af en funktionsgrænse har vi:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Så for at vise, at en funktion har INGEN begrænse kl # X_0 # vi er nødt til at finde to sekvenser # {X_n} # og # {Bar (x) _n} # sådan det

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #

og

#lim_ {n -> + oo} f (x_n) = lim_ {n -> + oo}! f (bar (x) _n) #

I det givne eksempel kan sådanne sekvenser være:

# X_n = 1 / (2 ^ n) # og #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Begge sekvenser konvergerer til # X_0 = 0 #, men ifølge funktionens formel har vi:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

fordi alle elementer i # X_n # er inde #1,1/2,1/4,…#

og for #bar (x) _n # vi har:

#F (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

men for alle #n> = 2 # vi har: #F (bar (x) _n) = 1 #

Så for #n -> + oo # vi har:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Begge sekvenser dækker til # X_0 = 0 #, men grænserne (*) og (**) er IKKE lige så grænsen #lim_ {x-> 0} f (x) # eksisterer ikke.

QED

Grænsedefinitionen findes i Wikipedia på:

Svar:

Her er et bevis ved anvendelse af negationen af definitionen af eksistensen af en grænse.

Forklaring:

Kort version

#F (x) # kan ikke nærme et enkelt nummer # L # fordi i ethvert kvarter af #0#, funktionen # F # tager op på værdier, der adskiller sig fra hinanden ved #1#.

Så uanset hvad nogen foreslår # L #, der er point #x# nær ved #0#, hvor #F (x) # er i det mindste #1/2# enhed væk fra # L #

Lang version

#lim_ (xrarr0) f (x) # eksisterer hvis og kun hvis

der er et tal, # L # sådan for alle #epsilon> 0 #, der er en #delta> 0 # sådan for alle #x#, # 0 <abs (x) <delta # indebærer #abs (f (x) -L) <epsilon #

Negationen af dette er:

#lim_ (xrarr0) f (x) # undlader at eksistere hvis og kun hvis

for hvert nummer, # L # der er en #epsilon> 0 #, sådan for alle #delta> 0 # der er en #x#, sådan at # 0 <abs (x) <delta # og #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Givet et nummer # L #, Jeg vil lade #epsilon = 1/2 # (nogen mindre # Epsilon # vil også fungere)

Nu givet en positiv # Delta #, Jeg må vise, at der er en #x# med # 0 <absx <delta # og #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (husk det #epsilon = 1/2 #)

Givet en positiv # Delta #, til sidst # 1/2 ^ n <delta # så der er en # X_1 # med #f (x_1) = 2 #.

Der er også et element # x_2 i RR- {1, 1/2, 1/4,… } # med # 0 <x_2 <delta # og #f (x_2) = 1 #

Hvis #L <= (1/2) #, derefter #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Hvis #L> = (1/2) #, derefter #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #