Hvad er derivatet af -sin (x)?

Det foregående svar indeholder fejl. Her er den korrekte afledning.

Først og fremmest er minustegnet foran en funktion #F (x) = - sin (x) #, når man tager et derivat, ville ændre tegn på et derivat af en funktion #F (x) = sin (x) # til modsat. Dette er en let sætning i teorien om grænser: grænsen for en konstant multipliceret med en variabel er lig med denne konstant multipliceret med en grænse for en variabel. Så lad os finde derivatet af #F (x) = sin (x) # og multiplicér det derefter med #-1#.

Vi skal starte fra følgende erklæring om grænsen for trigonometrisk funktion #F (x) = sin (x) # som argumentet har tendens til at være nul:

#lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 #

Bevis for dette er rent geometrisk og er baseret på en definition af en funktion #sin (x) #. Der er mange webressourcer, der indeholder et bevis på denne erklæring, som The Math Page.

Ved hjælp af dette kan vi beregne et derivat af #F (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -in (x)) / h #

Brug repræsentation af en forskel på #synd# fungerer som et produkt af #synd# og # cos # (se Unizor, Trigonometri - Trig Summen af Vinkler - Problemer 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2)

#F '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Derfor derivat af #F (x) = - sin (x) # er #F '(x) = - cos (x) #.