Svar:
Forklaring:
En vektor, der er ortogonal (vinkelret, norma) til et plan, der indeholder to vektorer, er også ortogonalt for de givne vektorer. Vi kan finde en vektor, som er ortogonal for begge de givne vektorer ved at tage deres krydsprodukt. Vi kan så finde en enhedsvektor i samme retning som den vektor.
Givet
For
#(12*-7)-(14*3)=-84-42=-126#
For
#-(8*-7)-(2*14)=--56-28=84#
For
#(8*3)-(12*2)=24-24=0#
Vores normale vektor er
For at gøre dette til en enhedsvektor deler vi vektoren med dens størrelse. Størrelsen er givet af:
# | Vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #
# | Vecn | = sqrt ((- 126) ^ 2 + (84) ^ 2 + (0) ^ 2) #
# | Vecn | = sqrt (15878 + 7056 + 0) = sqrt (22.932) = 42sqrt (13) #
Enhedsvektoren gives derefter af:
# Vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) #
#vecu = (<-126,84,0>) / (42sqrt (13)) #
# vecu = 1 / (42sqrt (13)) <-126,84,0> #
eller ækvivalent
# vecu = <-3 / (sqrt (13)), 2 / (sqrt (13)), 0> #
Du kan også vælge at rationalisere nævneren:
# vecu = <(-3sqrt (13)) / 13, (2sqrt (13)) / 13, 0> #
Hvad er enhedsvektoren, der er ortogonal til planet, der indeholder (i + j - k) og (i - j + k)?
Vi ved, at hvis vec C = vec A × vec B så vec C er vinkelret på både vec A og vec B Så, hvad vi har brug for er bare at finde tværproduktet af de givne to vektorer. Så (hati + hatj-hatk) × (hati-hat + hat) = - hatk-hatj-hatk + hati-hatj-i = -2 (hatk + hatj) Så er enhedsvektoren (-2 (hatk + hatj)) / (sqrt (2 ^ 2 + 2 ^ 2)) = - (hatk + hatj) / sqrt (2)
Hvad er enhedsvektoren, der er ortogonal til planet, der indeholder <0, 4, 4> og <1, 1, 1>?
Svaret er = <0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2> Vektoren, der er vinkelret på 2 andre vektorer, er givet af tværproduktet. <0,4,4> x <1,1,1> = | (hati, hat, hat), (0,4,4), (1,1,1) | = hati (0) -hatj (-4) + hat (-4) = <0,4, -4> Verifikation ved at gøre prikken produkter <0,4,4>. <0,4, -4> = 0 + 16-16 = 0 <1,1,1>. <0,4, -4> = 0 + 4-4 = 0 Modulet på <0,4, -4> er = <0,4, - 4> = sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt32 = 4sqrt2 Enhedsvektoren opnås ved at dividere vektoren med modulet = 1 / (4sqrt2) <0,4, -4> = <0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2>
Hvad er enhedsvektoren, der er ortogonal til planet, der indeholder (8i + 12j + 14k) og (2i + j + 2k)?
Der kræves to trin: Tag tværproduktet af de to vektorer. Normaliser den resulterende vektor for at gøre den til en enhedsvektor (længde 1). Enhedsvektoren gives da ved: (10 / sqrt500i + 12 / sqrt500j-16 / sqrt500k) 1. Krydsproduktet er givet ved: (8i + 12j + 14k) xx (2i + j + 2k) = ( 12 * 2-14 * 1) i + (14 * 2-8 * 2) j + (8 * 1-12 * 2) k) = (10i + 12j-16k) For at normalisere en vektor, find dens længde og opdel hver koefficient med den længde. r = sqrt (10 ^ 2 + 12 ^ 2 + (- 16) ^ 2) = sqrt500 ~~ 22,4 Enhedsvektoren gives derefter ved: (10 / sqrt500i + 12 / sqrt500j-16 / sqrt500k)