Positive heltal fra 1 til 45 inklusive er placeret i 5 grupper på 9 hver. Hvad er det højest mulige gennemsnit af medierne i disse 5 grupper?

Svar:

31

Forklaring:

Først et par definitioner:

median er middelværdien af en gruppe af tal.

Gennemsnit er summen af en gruppe af tal divideret med antallet af tal.

Ved at arbejde igennem det bliver det klart, at målet i denne øvelse er at øge de forskellige medianer. Så hvordan gør vi det? Målet er at arrangere sæt af tal, så vi har de midterste værdier af hvert sæt så høj som muligt.

For eksempel er den højest mulige median 41 med tallene 42, 43, 44 og 45, der er højere end den, og en gruppe af fire tal er mindre end den. Vores første sæt består da af (med disse tal over medianen i grønt, medianen selv i blå, og de nedenfor i rød):

#farve (grøn) (45, 44, 43, 42), farve (blå) (41), farve (rød) (x_1, x_2, x_3, x_4) #

Hvad er så den næsthøjeste median? Der skal være fem tal mellem den højeste median og den næste mulige (fire for tallene over medianen og derefter medianen selv), så det sætter os på #41-5=36#

#farve (grøn) (40, 39, 38, 37), farve (blå) (36), farve (rød) (x_5, x_6, x_7, x_8) #

Vi kan gøre det igen:

#farve (grøn) (35, 34, 33, 32), farve (blå) (31), farve (rød) (x_9, x_10, x_11, x_12) #

Og igen:

#farve (grøn) (30, 29, 28, 27), farve (blå) (26), farve (rød) (x_13, x_14, x_15, x_16) #

Og en sidste gang:

#farve (grøn) (25, 24, 23, 22), farve (blå) (21), farve (rød) (x_17, x_18, x_19, x_20) #

Og det viser sig, at abonnementerne på #x# værdier kan være den faktiske #x# værdier, men de behøver ikke være. De er på dette tidspunkt udskiftelige.

Gennemsnittet af disse medianer er:

#(41+36+31+26+21)/5=31#