Hvordan løser du arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3?

Svar:

# x = sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

Forklaring:

#arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3 #

Begynd ved at lade # alpha = arcsin (x) "" # og # "" beta = arcsin (2x) #

#COLOR (sort) alpha # og #COLOR (sort) beta # virkelig repræsenterer bare vinkler.

Så vi har: # Alfa + beta = pi / 3 #

# => Sin (alfa) = x #

#cos (alfa) = sqrt (1-sin ^ 2 (alfa)) = sqrt (1-x ^ 2) #

Tilsvarende

#sin (beta) = 2x #

#cos (beta) = sqrt (1-sin ^ 2 (beta)) = sqrt (1- (2x) ^ 2) = sqrt (1-4x ^ 2) #

#COLOR (hvid) #

Dernæst overveje

# Alfa + beta = pi / 3 #

# => Cos (alfa + beta) = cos (pi / 3) #

# => Cos (alfa) cos (beta) -sin (a) sin (beta) = 1/2 #

# => Sqrt (1-x ^ 2) * sqrt (1-4x ^ 2) - (x) * (2x) = 1/2 #

# => Sqrt (1-4x ^ 2x ^ 2-4x ^ 4) = 2x ^ 2 + 1/2 #

# => Sqrt (1-4x ^ 2x ^ 2-4x ^ 4) ^ 2 = 2x ^ 2 + 1/2 ^ 2 #

# => 1-5x ^ 2-4x ^ 4 = 4x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1/4 #

# => 8x ^ 4 + 7x ^ 2-3 / 4 = 0 #

# => 32x ^ 4 + 28x ^ 2-3 = 0 #

Anvend nu den kvadratiske formel i variablen # X ^ 2 #

# => X ^ 2 = (- 28 + -sqrt (784 + 384)) / 64 = (- 28 + -sqrt (1168)) / 64 = (- 28 + -sqrt (16 * 73)) / 64 = (-7 + -sqrt (73)) / 16 #

# => X = + - sqrt ((- 7 + -sqrt (73)) / 16) #

#COLOR (hvid) #

Mislykkede tilfælde:

#color (rød) ((1) ".." ##x = + - sqrt ((- 7-sqrt (73)) / 16) #

skal afvises, fordi løsningen er kompleks # inZZ #

#color (rød) ((2) ".." ## X = -sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

afvises, fordi løsningen er negativ. ud fra følgende betragtninger # Pi / 3 # er positiv.