Forholdet mellem to positive reelle tal er p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2) find derefter deres forhold mellem AM og GM?

Svar:

# p / q #.

Forklaring:

Lad nos. være #x og y, "hvor, x, y" i RR ^ + #.

Af hvad der gives, #x: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "say".

#:. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) og y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Nu, den ER #EN# af # x, y # er, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, og deres

GM # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 {p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)} = lambdaq #.

Klart, # "det ønskede forhold" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

Svar:

# P / q #

Forklaring:

Jeg vil bruge samme notation som i dette svar. Faktisk er der ingen reel nødvendighed af denne løsning (da problemet allerede er løst ganske pænt) - bortset fra at det illustrerer brugen af en teknik, jeg elsker meget!

Ifølge problemet

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

Ved hjælp af componendo og dividendo (dette er den yndlings teknik, som jeg fremhævede til ovenfor) får vi

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) indebærer #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) indebærer #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) indebærer #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 indebærer #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• hvilket er det krævede AM: GM-forhold.