Bevis at (aVb) ^ n = a ^ n V b ^ n?

Svar:

(se nedenfor for bevis)

Forklaring:

Antag at den største fælles faktor af #en# og # B # er # K #

dvs. # (AVB) = k # ved hjælp af notationen i dette spørgsmål.

Det betyder at

#farve (hvid) ("XXX") a = k * p #

#farve (hvid) ("XXX") b = k * q #

(til # k, p, q i NN) #

hvor

#COLOR (hvid) ("XXX") #de vigtigste faktorer i # P #: # {P_1, P_2, …} #

#COLOR (hvid) ("XXX") #og

#COLOR (hvid) ("XXX") #de vigtigste faktorer i # Q #: # {Q_1, q_2, …} #

#COLOR (hvid) ("XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX") #har ingen fælles elementer.

Fra definitionen af # K # (over)

vi har # (AVB) ^ n = k ^ n #

Yderligere

#color (hvid) ("XXX") a ^ n = (k * p) ^ n = k ^ n * p ^ n #

#color (hvid) ("XXX") b ^ n = (k * q) ^ n = k ^ n * q ^ n #

hvor # P ^ n # og # Q ^ n # kan ikke have nogen fælles primære faktorer (siden # P # og # Q # har ingen fælles primære faktorer.

Derfor

#COLOR (hvid) ("XXX") a ^ NVB ^ n = k ^ n #

…og

# (AVB) ^ n = a ^ NVB ^ n #

Det er kendt, at ligningen bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 har en reel rod. Bevis at ligningen x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 ikke har nogen reelle rødder.?

Se nedenunder. Rødderne for bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 er x = (a - 3 b pmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) Rødderne vil være sammenfaldende og real hvis a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 eller a = b eller a = 5b Nu løser x ^ 2 + (ab) x + ^ 2 + 1) = 0 vi har x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) Betingelsen for komplekse rødder er en ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 lt 0 gør nu a = b eller a = 5b vi har en ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Afslutning, hvis bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 har sammenfaldende reelle rødder, så vil x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 have kom

Bevis sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

I Forklaring På et normalt koordinatplan har vi koordinat som (1,2) og (3,4) og ting sådan. Vi kan genudtrykke disse koordinater n termer af radier og vinkler.Så hvis vi har pointet (a, b) betyder det, at vi går enheder til højre, b enheder op og sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) som afstanden mellem oprindelsen og punktet (a, b). Jeg vil kalde sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r Så vi har re-arctan (b / a) For at afslutte dette bevis skal vi huske en formel. e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) Funktionen af lysbue giver mig en vinkel, som også er theta. Så har vi følgende ligning: e ^ i * arcta

Bevis at: cos120 cos240 - sin240 sin120 = 1?

Se nedenfor. Vi ved, at cos (A + B) = cosAcosB-sinAsinB Så cos240 ° * cos120 ° -in240 ° * sin120 ° = cos (240 ° + 120 °) = cos360 ° = 1