Hvad er rækkevidden af y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Lad os først overveje domænet:

For hvilke værdier af #x# er funktionen defineret?

Tælleren # (1-x) ^ (1/2) # er kun defineret, når # (1-x)> = 0 #. Tilføjelse #x# til begge sider af dette finder du #x <= 1 #.

Vi kræver også, at nævneren er ikke-nul.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # er nul når #x = -1 / 2 # og når #x = -1 #.

Så domænet af funktionen er

# {x i RR: x <= 1 og x! = -1 og x! = -1/2} #

Definere #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # på dette domæne.

Lad os overveje hvert kontinuerligt interval i domænet separat:

Lad i hvert tilfælde lade #epsilon> 0 # vær et lille positivt tal.

Sag (a): #x <-1 #

For store negative værdier af #x#, #F (x) # er lille og positiv.

I den anden ende af dette interval, hvis #x = -1 - epsilon # derefter

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # som #epsilon -> 0 #

Så for #x <-1 # rækkevidden af #F (x) # er # (0, + oo) #

Sag (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1/2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1/2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # som #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Så for # -1 / 2 <x <= 1 # rækkevidden af #F (x) # er # 0, + oo) #

Sag (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # som #epsilon -> 0 #

#f (-1/2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1/2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # som #epsilon -> 0 #

Så det interessante spørgsmål er, hvad der er den maksimale værdi af #F (x) # i dette interval. For at finde værdien af #x# for hvilket dette sker, se efter, at derivatet er nul.

# D / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((1/2 (1 x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Dette vil være nul, når tælleren er nul, så vi vil gerne løse:

# 1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Multiplicere gennem af # 2 (1-x) ^ (1/2) # at få:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Det er:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

som har rødder # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Af disse rødder, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # falder i det pågældende interval.

Erstat dette tilbage i #F (x) # for at finde maksimum på #f (x) i dette interval (ca. -10).

Dette virker for kompliceret for mig. Har jeg lavet fejl?

Svar: Funktionsområdet er # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

Til #x i (-oo, -1) # #-># #y i (0, oo) #

Til #x i (-1, -0,5) # #-># #y i (-oo, -10.58 #

Til #x i (-0,5, 1 # #-># #y i 0, oo) #