Hvad er antiderivativet af (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Svar:

Svaret er # X + arctan (x) #

Forklaring:

Først bemærk at: # (2 x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # kan skrives som # (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) #

# => Int (2 x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = int 1 dx + int 1 / (1+ x ^ 2) dx = x + int 1 / (1 + x ^ 2) dx = #

Derivatet af #arctan (x) # er # 1 / (1 + x ^ 2) #.

Dette indebærer, at antiderivative af # 1 / (1 + x ^ 2) # er #arctan (x) #

Og det er på den baggrund, at vi kan skrive: # int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) #

derfor

#int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) + c #

Så antiderivative af # (2 x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # er #COLOR (blå) (x + arctan (x)) #

# "NB:" #

Forveks ikke # Stamfunktion # med ubestemt integreret

Antiderivativ involverer ikke en konstant. Faktisk at finde antiderivative betyder ikke intergrate!

Hvordan finder du antiderivativet af f (x) = 8x ^ 3 + 5x ^ 2-9x + 3?

Som dette: Den anti-derivative eller primitive funktion opnås ved at integrere funktionen. En tommelfingerregel her er, hvis du bliver bedt om at finde antiderivativ / integreret af en funktion, der er polynom: Tag funktionen og øg alle indekser af x ved 1, og divider derefter hvert udtryk med deres nye indeks for x. Eller matematisk: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Du tilføjer også en konstant til funktionen, selv om konstanten vil være vilkårlig i dette problem. Nu, ved hjælp af vores regel kan vi finde den primitive funktion, F (x). F (x) = ((8x ^ (3 + 1)) / (3 + 1)) + ((5x ^ (

Hvad er antiderivativet af 1 / sinx?

Det er -Men abs (cscx + cot x) 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) Tælleren er det modsatte (den "negative") af denominatorens derivat. Så antiderivative er minus nævnerenes naturlige logaritme. -Im abs (cscx + cot x). (Hvis du har lært substitutionsteknikken, kan vi bruge u = cscx + cot x, så du = -csc ^ 2 x - cscx cotx. Udtrykket bliver -1 / u du.) Du kan bekræfte dette svar ved at differentiere .

Hvordan finder du antiderivativet af e ^ (sinx) * cosx?

Brug en u-substitution for at finde ikke ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Bemærk at derivatet af sinx er cosx, og da disse vises i samme integral, løses dette problem med en u-substitution. Lad u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx ikke ^ sinx * cosxdx bliver: inte ^ udu Denne integral evaluerer til e ^ u + C (fordi derivatet af e ^ u er e ^ u). Men u = sinx, så: ikke ^ sinx * cosxdx = ikke ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C