Hvordan finder du antiderivativet af e ^ (sinx) * cosx?

Svar:

Brug en # U #-substitution for at finde # Inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C #.

Forklaring:

Bemærk, at derivatet af # Sinx # er # Cosx #, og da disse vises i samme integral, løses dette problem med a # U #substitution.

Lade # U = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx #

# Inte ^ sinx * cosxdx # bliver til:

# Inte ^ udu #

Denne integral evaluerer til # E ^ u + C # (fordi derivatet af # E ^ u # er # E ^ u #). Men # U = sinx #, så:

# Inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C #

Hvordan finder du antiderivativet af f (x) = 8x ^ 3 + 5x ^ 2-9x + 3?

Som dette: Den anti-derivative eller primitive funktion opnås ved at integrere funktionen. En tommelfingerregel her er, hvis du bliver bedt om at finde antiderivativ / integreret af en funktion, der er polynom: Tag funktionen og øg alle indekser af x ved 1, og divider derefter hvert udtryk med deres nye indeks for x. Eller matematisk: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Du tilføjer også en konstant til funktionen, selv om konstanten vil være vilkårlig i dette problem. Nu, ved hjælp af vores regel kan vi finde den primitive funktion, F (x). F (x) = ((8x ^ (3 + 1)) / (3 + 1)) + ((5x ^ (

Bevis det: sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / abs (sinx)?

Bevis under anvendelse af konjugater og trigonometrisk version af Pythagorean Theorem. Del 1 sqrt (1-cosx) / (1 + cosx)) farve (hvid) ("XXX") = sqrt (1-cosx) / sqrt (1 + cosx) farve (hvid) ("XXX") = sqrt (1-cosx)) / sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) farve (hvid) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt 2x) Del 2 Tilsvarende sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) farve (hvid) ("XXX") = (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) Del 3: Kombination af udtrykkene sqrt (1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt (1 + cosx) / (1-cosx) farve (hvid) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) + (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x

Hvordan finder du antiderivativet af cos ^ 4 (x) dx?

Du vil opdele det ved hjælp af trig identiteter for at få gode, nemme integraler. cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) Vi kan nemt behandle cos ^ 2 (x) ved at omordne dobbeltvinkel cosinusformlen. cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) 1/2 (1 + cos (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (2x) + 1/8 * cos (4x) Så, int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos ) dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * synd (2x) + 1/32 * synd (4x) + C