Hvad er antiderivativet af 1 / sinx?

Svar:

det er # -lm abs (cscx + cot x) #

Forklaring:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

Tælleren er den modsatte (den "negative") af denominatorens derivat.

Så antiderivative er minus nævnerenes naturlige logaritme.

# -lm abs (cscx + cot x) #.

(Hvis du har lært substitutionsteknikken, kan vi bruge #u = cscx + barneseng x #, så #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. Udtrykket bliver # -1 / u du #.)

Du kan bekræfte dette svar ved at differentiere.

En anden tilgang til det

# Int1 / sinxdx # #=#

# Intsinx / sin ^ 2xdx #

# Intsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

Erstatning

# Cosx = u #

# -Sinxdx = du #

# Sinxdx = -du #

#=# # -Int1 / (1-u ^ 2) du #

# 1 / (1-u ^ 2) = 1 / ((U-1) (u + 1)) = A / (u-1) + B / (u + 1) # #=#

# (A (u + 1) + B (U-1)) / ((U-1) (u + 1)) #

Vi behøver # A (u + 1) + B (U-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0U + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):} #

Derfor, # -Int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -Int ((1/2) / (U-1) - (1/2) / (u + 1)) du # #=#

# 1 / 2INT (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2INT (((u + 1) ') / (u + 1) - ((U-1)) / (U-1)) du # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + c '#, # (C, c ') ##i## RR #

Hvordan finder du antiderivativet af f (x) = 8x ^ 3 + 5x ^ 2-9x + 3?

Som dette: Den anti-derivative eller primitive funktion opnås ved at integrere funktionen. En tommelfingerregel her er, hvis du bliver bedt om at finde antiderivativ / integreret af en funktion, der er polynom: Tag funktionen og øg alle indekser af x ved 1, og divider derefter hvert udtryk med deres nye indeks for x. Eller matematisk: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Du tilføjer også en konstant til funktionen, selv om konstanten vil være vilkårlig i dette problem. Nu, ved hjælp af vores regel kan vi finde den primitive funktion, F (x). F (x) = ((8x ^ (3 + 1)) / (3 + 1)) + ((5x ^ (

Hvad er antiderivativet af (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Svaret er x + arctan (x) Første bemærkning om at: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) kan skrives som (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = Derivatet af arctan (x) er 1 / (1 + x ^ 2). Dette indebærer, at antiderivative 1 / (1 + x ^ 2) er arctan (x) Og det er på den baggrund, at vi kan skrive: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan x) Derfor int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arct

Hvordan finder du antiderivativet af e ^ (sinx) * cosx?

Brug en u-substitution for at finde ikke ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Bemærk at derivatet af sinx er cosx, og da disse vises i samme integral, løses dette problem med en u-substitution. Lad u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx ikke ^ sinx * cosxdx bliver: inte ^ udu Denne integral evaluerer til e ^ u + C (fordi derivatet af e ^ u er e ^ u). Men u = sinx, så: ikke ^ sinx * cosxdx = ikke ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C