Hvad er asymptoterne for y = 4 / (x-1) og hvordan tegner du funktionen?

Svar:

Horisontal asymptote: # Y = 0 #

Vertikal asymptote: # X = 1 #

Se grafen til # Y = 1 / x # når du graver # Y = 4 / (x-1) # kan hjælpe dig med at få en ide om formen af denne funktion.

graf {4 / (x-1) -10, 10, -5, 5}

Forklaring:

asymptoter

Find lodret asymptote af denne rationelle funktion ved at indstille sin nævneren til #0# og løse for #x#.

Lade # x-1 = 0 #

# X = 1 #

Hvilket betyder, at der er en lodret asymptot, der passerer gennem punktet #(1,0)#.

* FYI du kan sørge for at # X = 1 # giver en vertikal asymptote i stedet for et aftageligt punkt af diskontinuitet ved at evaluere tællerudtrykket på # X = 1 #. Du kan bekræfte den vertikale asymptote, hvis resultatet er en værdi, der ikke er nul. Men hvis du ender med et nul, skal du forenkle funktionsudtrykket, for eksempel fjerne den pågældende faktor # (X-1) #, og gentag disse trin. *

Du kan finde vandret asymptote (a.a.a "endeadfærd") ved at evaluere #lim_ {x til infty} 4 / (x-1) # og #lim_ {x til -infty} 4 / (x-1) #.

Hvis du endnu ikke har lært grænser, kan du stadig finde asymptoten ved at tilslutte store værdier af #x# (fx ved at evaluere funktionen ved # X = 11 #, # X = 101 #, og # X = 1001 #.) Du finder sandsynligvis det som værdien af #x# stigning i retning af positiv uendelighed, værdien af # Y # kommer nærmere og tættere på - men aldrig når op #0#. Så er tilfældet som #x# nærmer sig negativ uendelighed.

Per definition ser vi, at funktionen har en vandret asymptote på # Y = 0 #

Kurve

Du har muligvis fundet udtryk for # Y = 1 / x #, det #x#-reciprocal funktion ligner den af # Y = 4 / (x-1) #. Det er muligt at grave sidstnævnte baseret på viden om formen af den første.

Overvej hvilken kombination af transformationer (som strækning og skift) vil konvertere den første funktion, som vi sandsynligvis er bekendt med, til den pågældende funktion.

Vi begynder med at konvertere

# Y = 1 / x # til # Y = 1 / (x-1) #

ved at skifte grafen for den første funktion til ret ved #1# enhed. Algebraisk ligner denne transformation udskiftning #x# i den oprindelige funktion med udtrykket # x-1 #.

Endelig strækker vi funktionen lodret # Y = 1 / (x-1) # med en faktor på #4# for at opnå den funktion, vi leder efter, # Y = 4 / (x-1) #. (For rationelle funktioner med horisontale asymptoter vil strækningen effektivt skifte funktionen udad.)