Hvordan finder du derivatet af tan (x - y) = x?

Svar:

# (Dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Forklaring:

Jeg formoder at du vil finde # (Dy) / (dx) #. Til dette har vi først brug for et udtryk for # Y # med hensyn til #x#. Vi bemærker, at dette problem har forskellige løsninger, da #tan (x) # er en periodisk funktion, #tan (x-y) = x # vil have flere løsninger. Men da vi kender tangentfunktionens periode (# Pi #), kan vi gøre følgende: # x-y = tan ^ (- 1) x + NPI #, hvor #tan ^ (- 1) # er den inverse funktion af tangenten, der giver værdier mellem # -Pi / 2 # og # Pi / 2 # og faktoren # NPI # er blevet tilføjet for at tage højde for periodiciteten af tangenten.

Dette giver os # Y = x-tan ^ (- 1) X-npi #, derfor # (Dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, bemærk at faktoren # NPI # er forsvundet. Nu skal vi finde # D / (dx) tan ^ (- 1) x #. Dette er ret vanskelig, men gennemførligt ved hjælp af omvendt funktionssætning.

Indstilling # U = tan ^ (- 1) x #, vi har # X = tanu = sinu / cosu #, så # (Dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, ved hjælp af kvotientreglen og nogle trigonometriske identiteter. Ved anvendelse af inversfunktionssatsen (hvilket angiver, at hvis # (Dx) / (du) # er kontinuerlig og ikke-nul, har vi # (Du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), vi har # (Du) / (dx) = cos ^ 2u #. Nu skal vi udtrykke # cos ^ 2u # i form af x.

For at gøre dette bruger vi nogle trigonometri. Giver en ret trekant med sider # A, b, c # hvor # C # er den hypotese og # A, b # forbundet til den rigtige vinkel. Hvis # U # er vinklen hvor side # C # skærer side #en#, vi har # X = tanu = b / a #. Med symbolerne # A, b, c # i ligningerne betegner vi længden af disse kanter. # Cosu = a / c # og ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi # C = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Dette giver # Cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, så # (Du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Siden # U = tan ^ (- 1) x #, vi kan erstatte dette i vores ligning for # (Dy) / (dx) # og find # (Dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.