Hvad betyder meningen med inverterbar matrix?

Det korte svar er, at i et system med lineære ligninger, hvis koefficientmatricen er inverterbar, så er din løsning unik, det vil sige, at du har en løsning.

Der er mange egenskaber for en inverterbar matrix, der skal listes her, så du bør se på Invertible Matrix Theorem. For at en matrix skal være inverterbar, skal den være firkant, det vil sige, det har det samme antal rækker som kolonner.

Generelt er det mere vigtigt at vide, at en matrix er inverterbar, snarere end at producere en inverterbar matrix, fordi det er mere beregningsmæssigt bekostning at beregne den inverterbare matrix sammenlignet med blot at løse systemet. Du ville beregne en invers matrix, hvis du løste for mange løsninger.

Antag at du har dette system af lineære ligninger:

# 2x + 1.25y = b_1 #

# 2.5x + 1.5y = b_2 #

og du skal løse # (x, y) # for parrene af konstanter: #(119.75, 148), (76.5, 94.5), (152.75, 188.5)#. Ser ud som en masse arbejde! I matrixform ser dette system ud:

# Ax = b #

hvor #EN# er koefficient matrixen, #x# er vektoren # (X, y) # og # B # er vektoren # (b_1, b_2) #. Vi kan løse for #x# med nogle matrix algebra:

# X = A ^ (- 1) b #

hvor #A ^ (- 1) # er den inverse matrix. Der er forskellige måder at beregne den inverse matrix på, så jeg vil ikke gå ind i det nu.

# A ^ (- 1) = #

#-12, 10#

#20, -16#

Så for at få løsningerne har vi:

# -12 * 119,75 + 10 * 148 = 43 = x_1 #

# 20 * 119.75-16 * 148 = 27 = y_1 #

# -12 * 76,5 + 10 * 94,5 = 27 = x_2 #

# 20 * 76.5-16 * 94,5 = 18 = y_2 #

# -12 * 152,75 + 10 * 188,5 = 52 = x_3 #

# 20 * 152.75-16 * 188,5 = 39 = y_3 #

Nu er det ikke så nemmere end at løse 3 systemer?