Hvad er den inverse af f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

Svar:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Forklaring:

Forudsat at vi har at gøre med # Log_3 # som en reel værdifunktion og omvendt af # 3 ^ x #, så domænet af #F (x) # er # (3, oo) #, da vi har brug for det #x> 3 # for at # Log_3 (x-3) # defineres.

Lade #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Derefter:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Så:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Så:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Så:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

Faktisk skal det være den positive kvadratrod siden:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Så:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Derfor:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #