Hvad er den absolutte ekstremitet af f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) i [2,9]?

Svar:

Det absolutte minimum er # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# som opstår, når # X = 9 #.

Det absolutte maksimum er # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # som opstår, når # X = 2 #.

Forklaring:

Den absolutte ekstrem af en funktion er de største og mindste y-værdier af funktionen på et givet domæne. Dette domæne kan gives til os (som i dette problem), eller det kan være domænet for selve funktionen. Selv når vi får domænet, skal vi overveje domænet af selve funktionen, hvis det udelukker værdier af det domæne, vi får.

#F (x) # indeholder eksponenten #1/3#, som ikke er et helt tal. Heldigvis domænet af #p (x) = root3 (x) # er # (- oo, oo) # så denne kendsgerning er ikke et problem.

Men vi skal stadig overveje, at nævneren ikke kan svare til nul. Nævneren vil svare til nul når #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Ingen af disse værdier ligger i det givne område af #2,9#.

Så vi vender os til at finde den absolutte ekstrem på #2,9#. Absolut ekstrem forekommer på slutpunktet af domænet eller ved lokal ekstrem, det er punkter, hvor funktionen ændrer retning. Lokal ekstrem forekommer på kritiske punkter, som er punkter i det domæne, hvor derivatet er lig med #0# eller eksisterer ikke. Således må vi finde derivatet. Brug af kvotientreglen:

#F '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#F '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#F '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#F '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Hvis vi faktor # -3x ^ (- 2/3) # ude af tælleren har vi:

#F '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Der er ingen værdier for #x# på #2,9# hvor #F '(x) # eksisterer ikke. Der er heller ingen værdier på #2,9# hvor #F '(x) = 0 #. Således er der ingen kritiske punkter på det givne domæne.

Ved hjælp af "kandidatprøven" finder vi værdierne af #F (x) # ved endepunkterne. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

En hurtig check på vores regnemaskiner viser, at:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (absolut maksimum)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (absolut minimum)

Hvad er den absolutte ekstremitet af f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 i [0,3]?

På [0,3] er maksimumet 19 (ved x = 3) og minimumet er -1 (ved x = 1). For at finde den absolutte ekstrem af en (kontinuerlig) funktion i et lukket interval, ved vi, at ekstremmen skal forekomme ved enten crtiske numre i intervallet eller ved intervallets endepunkter. f (x) = x ^ 3-3x + 1 har derivat f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 er aldrig udefineret og 3x ^ 2-3 = 0 ved x = + - 1. Da -1 ikke ligger i intervallet [0,3], kasserer vi det. Det eneste kritiske tal, der skal overvejes, er 1. f (0) = 1 f (1) = -1 og f (3) = 19. Så er maksimumet 19 (ved x = 3) og minimumet er -1 x = 1).

Hvad er den absolutte ekstremitet af f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) i [1,4]?

Der er ingen globale maksima. Den globale minima er -3 og forekommer ved x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) 2 x 6 x 6, hvor x 1 f '(x) = 2x - 6 Den absolutte ekstrem forekommer på et slutpunkt eller ved kritisk nummer. Endpoints: 1 & 4: x = 1 f (1): "udefineret" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Kritiske punkter: f ' = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Ved x = 3 f (3) = -3 Der er ingen globale maksima. Der er ingen globale minima er -3 og forekommer ved x = 3.

Hvad er den absolutte ekstremitet af f (x) = (6x) / (4x + 8) i [-oo, oo]?

Det har ingen absolut ekstrem på den rigtige linje. lim_ (xrarr-2 ^ -) f (x) = oo og lim_ (xrarr-2 ^ +) f (x) = -oo.