Hvordan finder du int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx ved hjælp af partielle fraktioner?

Svar:

Du forsøger at opdele den rationelle funktion i en sum, der vil være meget let at integrere.

Forklaring:

Først og fremmest: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Delvis fraktion nedbrydning gør det muligt at gøre det:

(x + 1) / (x (x ^ 2-1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = / x + b / (x-1) # med # a, b i RR # at du skal finde.

For at finde dem skal du multiplicere begge sider ved et af polynomierne til venstre for ligestillingen. Jeg viser et eksempel til dig, den anden koefficient findes på samme måde.

Vi finder #en#: Vi må formere alt ved #x# for at gøre den anden koefficient forsvundet.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1).

#x = 0 iff -1 = a #

Du gør det samme for at finde # B # (du formere alt ved # (X-1) # så vælger du #x = 1 #), og du finder ud af det #b = 1 #.

Så # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, hvilket indebærer det #int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs x-1) - lnabsx #

Hvordan integrerer du int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) ved hjælp af partielle fraktioner?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Vi skal finde A, B, C sådan at 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) for alle x. Multiplicere begge sider med x ^ 2 (2x-1) for at få 1 = Akse (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Axe + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = Ligningskoefficienter giver os {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Og således har vi A = -2, B = -1, C = 4. Ved at erstatte dette i den indledende ligning får vi 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Integrer den nu termen med termen int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx for at få 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C

Hvordan finder du int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx ved hjælp af partielle fraktioner?

Ln (1 + x) / (1 - 2x)) + C Lad 3 / (1 + x) * (1 - 2x)) være = (A / (1 + x) + B / (1 - 2x) ) Udvidelse af højre side, vi får (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) Ligning, vi får (A * (1 - 2x ) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dvs. A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 eller A - 2Ax + B + Bx = 3 eller (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 svarer til koefficienten x til 0 og ligningskonstanter, får vi A + B = 3 og -2A + B = 0 Løsning for A & B, vi får A = 1 og B = 2 I integrationen får vi int 3 / (1 + x) * (1 - 2x)) dx = int Dx = int (1 / (1 + x)) dx + i

Hvordan integrerer du int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) ved hjælp af partielle fraktioner?

Du skal nedbryde (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) som en delfraktion. Du leder efter a, b, c i RR sådan at (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / -6) + c / (x + 4). Jeg skal vise dig, hvordan du finder en eneste, fordi b og c findes på nøjagtig samme måde. Du multiplicerer begge sider med x + 3, hvilket vil gøre det forsvinde fra nævneren på venstre side og få det til at vises ud for b og c. (x-9) / (x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff -9) / (x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Du vurderer dette ved x-3 for at f&#