Vi har et halvt cylindret tag med radius r og højde r monteret oven på fire rektangulære vægge h. Vi har 200π m ^ 2 plastikplader, der skal bruges til konstruktionen af denne struktur. Hvad er værdien af r, der tillader maksimalt volumen?

Svar:

# R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Forklaring:

Lad mig genoprette spørgsmålet, som jeg forstår det.

Forudsat overfladen af dette objekt er # 200pi #, maksimere lydstyrken.

Plan

At kende overfladeområdet kan vi repræsentere en højde # H # som en funktion af radius # R #, så kan vi repræsentere lydstyrken som en funktion af kun en parameter - radius # R #.

Denne funktion skal maksimeres ved hjælp af # R # som en parameter. Det giver værdien af # R #.

Overfladeareal indeholder:

4 vægge, der danner en sideflade af en parallelepiped med en omkreds af en base # 6r # og højde # H #, som har et samlet areal på # 6rh #.

1 tag, halvdelen af en sideflade af en cylinder med en radius # R # og højde # R #, der har et område af #pi r ^ 2 #

2 sider af taget, halvcirkler af en radius # R #, hvis samlede areal er #pi r ^ 2 #.

Det resulterende samlede overfladeareal af en genstand er

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

At vide dette er lig med # 200pi #, kan vi udtrykke # H # med hensyn til # R #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Volumenet af dette objekt har to dele: Under taget og i taget.

Under taget har vi en parallelepiped med basisareal # 2r ^ 2 # og højde # H #, det er dens volumen er

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2/3pir ^ 3 #

Indenfor taget har vi en halv cylinder med radius # R # og højde # R #, dens volumen er

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Vi skal maksimere funktionen

#V (r) = V_1 + V_2 = 200/3pir - 2/3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200/3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

det ser ud som dette (ikke at skalere)

graf {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Denne funktion når sit maksimum, når den er afledt, er lig med nul for et positivt argument.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

I området af #R> 0 # det er lig med nul når # R = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Det er den radius der giver det største volumen, givet overfladen og en form af en genstand.