Sådan integreres sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Svar:

(x x 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Forklaring:

Da det er nemmere at håndtere kun en #x# under en kvadratrode fuldfører vi pladsen:

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# K = -4 #

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Nu skal vi lave en trigonometrisk substitution. Jeg skal bruge hyperboliske trig funktioner (fordi secant integreret er normalt ikke meget rart). Vi vil bruge følgende identitet:

# Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

For at gøre dette, vil vi have # (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Vi kan løse for #x# for at få den substitution vi har brug for:

# X + 2 = 2cosh (theta) #

# X = 2cosh (theta) -2 #

At integrere med hensyn til # Theta #, må vi multiplicere med derivatet af #x# med respekt for # Theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta =

(4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Nu kan vi bruge identiteten # Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Nu bruger vi identiteten:

# Sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2-theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Vi kunne gøre en eksplicit u-substitution for # 2cosh (2theta) #, men det er ret indlysende, at svaret er #sinh (2theta) #:

# = Sinh (2-theta) -2theta + C #

Nu skal vi fortryde substitutionen. Vi kan løse for # Theta # at få:

# Theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Dette giver:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #