Svar:
Serien konvergerer absolut.
Forklaring:
Først bemærk at:
og
Derfor hvis
Dette er en p-serie med
Derfor konvergerer serien helt:
Se http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html for mere info.
Ved hjælp af definitionen af konvergens, hvordan viser du at sekvensen {5+ (1 / n)} konvergerer fra n = 1 til uendelig?
Lad: a_n = 5 + 1 / n derefter for enhver m, n i NN med n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) som n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n og som 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Giv et rigtigt tal epsilon> 0, vælg derefter et helt tal N> 1 / epsilon. For et helt tal m, n> N har vi: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, der beviser Cauchys tilstand for konvergens af en sekvens.
Ved hjælp af definitionen af konvergens, hvordan viser du at sekvensen {2 ^ -n} konvergerer fra n = 1 til uendelig?
Brug egenskaberne af den eksponentielle funktion til at bestemme N, såsom | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon for hver m, n> N Definitionen af konvergensstilstande, at {a_n} konvergerer hvis: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Så givet epsilon> 0 tager N> log_2 (1 / epsilon) og m, n> N med m <n Som m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 så | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Nu som 2 ^ x er altid positiv, (1-2) (mn)) <1, så 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Og da 2 ^ (
Hvordan bruger du Integraltest til at bestemme konvergens eller divergens i serien: sum n e ^ -n fra n = 1 til uendelig?
Tag den integrerede int_1 ^ ooxe ^ -xdx, som er endelig, og bemærk at den grænser sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Derfor er det konvergent, så sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) er ligeledes. Den formelle erklæring af integralprøven angiver, at hvis fin [0, oo) rightarrowRR er en monoton faldende funktion, der er ikke-negativ. Derefter er summen sum (n = 0) ^ oof (n) konvergent, hvis og kun hvis "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx er endelig. (Tau, Terence. Analyse I, anden udgave. Hindustan bogbureau. 2009). Denne erklæring kan virke lidt teknisk, men ideen er følgende. I dette tilf&