Hvad er resten af p12 ^ (p-1), når p er prime?

Svar:

Resten er lig med #0# hvornår # P # er enten #2# eller #3#, og det er lig med #1# for alle andre primtal.

Forklaring:

Først og fremmest kan dette problem omformuleres som at skulle finde værdien af # 12 ^ (p-1) mod p # hvor # P # er et primært tal.

For at løse dette problem skal du kende Eulers sætning. Eulers sætning hedder det #a ^ { varphi (n)} - = 1 mod n # for alle heltal #en# og # N # det er coprime (de deler ikke nogen faktorer). Du kan undre sig over hvad # varphi (n) # er. Dette er faktisk en funktion kendt som totiens funktion. Det er defineret til at være lig med antallet af heltal # <= N # sådan at disse heltal er coprime til # N #. Husk på, at tallet #1# betragtes coprime til alle heltal.

Nu da vi kender Euler's sætning, kan vi gå på at løse dette problem.

Bemærk at alle primere undtagen #2# og #3# er coprime med #12#. Lad os sætte til side 2 og 3 til senere og fokusere på resten af primerne. Da disse andre primater er coprime til 12, kan vi anvende Euler's sætning til dem:

# 12 ^ { varphi (p)} - = 1 mod p #

Siden # P # er et primært tal, # Varphi (p) = p-1 #. Dette giver mening, fordi hvert tal mindre end et primært tal vil være coprime med det.

Derfor har vi nu # 12 ^ {p-1} - = 1 mod p #

Ovennævnte udtryk kan oversættes til # 12 ^ {p-1} # divideret med # P # har en rest af #1#.

Nu skal vi bare redegøre for #2# og #3#, som som du sagde tidligere, begge havde remainders af #0#.

Derfor har vi i det hele taget bevist det # 12 ^ {p-1} # divideret med # P # hvor # P # er et primært tal har en rest af #0# når p er enten #2# eller #3# og har en rest af #1# Ellers.

Resten af et polynom f (x) i x er henholdsvis 10 og 15, når f (x) er divideret med (x-3) og (x-4). Find resten, når f (x) er divideret med (x- 3) (- 4)?

5x-5 = 5 (x-1). Husk at graden af resten poly. er altid mindre end divisoren poly. Derfor, når f (x) er divideret med en kvadratisk poly. (x-4) (x-3), resten poly. skal være lineær, sig, (ax + b). Hvis q (x) er kvotienten poly. i ovenstående division har vi f (x) = (x-4) (x-3) q (x) + (ax + b) ............ <1> . f (x), når deles med (x-3), bliver resten 10, rArr f (3) = 10 .................... [fordi " Resterende sætning] ". Derefter ved <1>, 10 = 3a + b .................................... <2 >. Tilsvarende f (4) = 15 og <1> rArr 4a + b = 15 ................

Brug resten af sætningen, hvordan finder du resten af 3x ^ 5-5x ^ 2 + 4x + 1 når den er divideret med (x-1) (x + 2)?

42x-39 = 3 (14x-13). Lad os angive, ved p (x) = 3x ^ 5-5x ^ 2 + 4x + 1, det givne polynomiale (poly.). Bemærk, at divisoren poly., (X-1) (x + 2), er af grad 2, resten af resten (poly.), Der søges efter, skal være mindre end 2. Derfor antager vi det, at resten er økse + b. Nu, hvis q (x) er kvotienten poly., Så har vi, p (x) = (x-1) (x + 2) q (x) + (ax + b) eller , 3x ^ 5-5x ^ 2 + 4x + 1 = (x-1) (x + 2) q (x) + (ax + b) ...... (stjerne). (stjerne) "holder godt" AA x i RR. Vi foretrækker, x = 1 og x = -2! Sub.ing, x = 1 i (stjerne), 3-5 + 4 + 1 = 0 + (a + b), eller, a + b = 3 ........

Når et polynom er divideret med (x + 2), er resten -19. Når det samme polynom er divideret med (x-1), er resten 2, hvordan bestemmer du resten når polynomet er divideret med (x + 2) (x-1)?

Vi ved at f (1) = 2 og f (-2) = - 19 fra den resterende sætning Find nu resten af polynomet f (x), når delt med (x-1) (x + 2) Resten vil være af formlen Ax + B, fordi det er resten efter division af en kvadratisk. Vi kan nu formere divisor gange kvotienten Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Axe + B Næste indsæt 1 og -2 for x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Løsning af disse to ligninger, vi får A = 7 og B = -5 Rest = Ax + B = 7x-5